Determine a transformada inversa
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa
Informações dadas: a função no domínio de
é
. Não há outras condições explícitas sobre
no enunciado; assumimos a região de convergência típica onde a transformada de Laplace existe (valores de
com parte real suficientemente grande).
Passo 2
Vamos simplificar a expressão do denominador por completamento do quadrado — isso é útil porque as fórmulas padrões da transformada de Laplace envolvem termos do tipo
.
Completemos o quadrado em
Primeiro, tomo o termo quadrático e o termo linear:
Somando o
original:
Passo 3
Agora temos
Vou lembrar duas fórmulas padrão da transformada de Laplace que precisamos:
- Para
,
Explicando: nesta fórmula,
é a variável do tempo (domínio onde a função original vive),
é a variável complexa da transformada, e
é a frequência angular da senoide. A integral que define a transformada é
; aplicando a
e resolvendo a integral obtém-se a expressão acima.
- Teorema do deslocamento em frequência (ou deslocamento em
): se
então, para todo
complexo,
Explicando por que: ao calcular
, que é exatamente
.
Passo 4
Compare a nossa expressão com as fórmulas acima. Note que a forma padrão para a seno é
quando há um deslocamento em
por
. No nosso caso o denominador é
, que corresponde ao caso com
e
.
Também lembrando a fórmula para
:
Tomando
temos
Passo 5
Aplicando o teorema do deslocamento em frequência: se
, então substituindo
por
obtemos
Portanto a transformada dada é exatamente a transformada de Laplace de
.
Passo 6
Verificação rápida (só para garantir que não houve erro): calcular a transformada de
conforme a regra do Passo 3 dá
que é igual à nossa expressão simplificada do início. Tudo confere.