Determine a transformada inversa
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2 s+5}{s^{2}+6 s+34}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa \mathcal{L}^{-1} da função racional
\frac{2 s+5}{s^{2}+6 s+34}.
Informações relevantes dadas: o numerador é \;2s+5\; e o denominador é \;s^{2}+6s+34\;. A tarefa é encontrar uma função f(t) (para t\ge 0) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{2 s+5}{s^{2}+6 s+34}.

Passo 2

Vamos trabalhar o denominador completando o quadrado, que é um passo padrão para reconhecer formas de transformadas de exponenciais vezes seno/cosseno.
s^{2}+6s+34 = (s^{2}+6s+9)+25 = (s+3)^{2}+5^{2}.

Passo 3

Reescrevemos o numerador em função de (s+3) para combinar com o denominador já completado:
2s+5 = 2(s+3)-1,
pois 2(s+3)=2s+6 e 2s+6-1=2s+5.

Passo 4

Separando a fração usando a linearidade, obtemos
\frac{2 s+5}{s^{2}+6 s+34} = \frac{2(s+3)-1}{(s+3)^{2}+5^{2}} = 2\cdot\frac{s+3}{(s+3)^{2}+5^{2}} \;-\; \frac{1}{(s+3)^{2}+5^{2}}.

Passo 5

Lembrete das pares usuais de transformada de Laplace (essas fórmulas são essenciais e usadas direto em prova):
\mathcal{L}\{e^{a t}\cos(b t)\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}},
\mathcal{L}\{e^{a t}\sin(b t)\}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Aqui, ao compararmos com nossas frações, percebemos que (s+3) tem a forma s-a com a=-3. O parâmetro b é 5 porque temos 5^{2} no denominador.

Passo 6

Aplicamos a transformada inversa termo a termo.
Primeiro termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\,\frac{s+3}{(s+3)^{2}+5^{2}}\,\right\}=e^{-3t}\cos(5t),
logo
2\cdot\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\,\frac{s+3}{(s+3)^{2}+5^{2}}\,\right\}=2e^{-3t}\cos(5t).
Segundo termo: escrevemos \dfrac{1}{(s+3)^{2}+5^{2}}=\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{5}{(s+3)^{2}+5^{2}}. Usando a segunda fórmula,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\,\frac{5}{(s+3)^{2}+5^{2}}\,\right\}=e^{-3t}\sin(5t),
portanto
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\,\frac{1}{(s+3)^{2}+5^{2}}\,\right\}=\frac{1}{5}e^{-3t}\sin(5t).
Como o termo estava com sinal menos, obtemos -\dfrac{1}{5}e^{-3t}\sin(5t).

Passo 7

Somando os dois resultados e, se quiser, fatorando e^{-3t}, temos a função no tempo:
f(t)=2e^{-3t}\cos(5t)-\frac{1}{5}e^{-3t}\sin(5t)=e^{-3t}\!\left(2\cos(5t)-\frac{1}{5}\sin(5t)\right).

Resposta

e^{-3t}\left(2\cos(5t)-\dfrac{1}{5}\sin(5t)\right)

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