Determine a transformada inversa
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa
da função racional
Informações relevantes dadas: o numerador é
e o denominador é
. A tarefa é encontrar uma função
(para
) tal que
.
Passo 2
Vamos trabalhar o denominador completando o quadrado, que é um passo padrão para reconhecer formas de transformadas de exponenciais vezes seno/cosseno.
Passo 3
Reescrevemos o numerador em função de
para combinar com o denominador já completado:
pois
e
.
Passo 4
Separando a fração usando a linearidade, obtemos
Passo 5
Lembrete das pares usuais de transformada de Laplace (essas fórmulas são essenciais e usadas direto em prova):
Aqui, ao compararmos com nossas frações, percebemos que
tem a forma
com
. O parâmetro
é
porque temos
no denominador.
Passo 6
Aplicamos a transformada inversa termo a termo.
Primeiro termo:
Primeiro termo:
logo
Segundo termo: escrevemos
. Usando a segunda fórmula,
portanto
Como o termo estava com sinal menos, obtemos
.
Passo 7
Somando os dois resultados e, se quiser, fatorando
, temos a função no tempo: