Determine a transformada inversa
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^{2}+4 s+5}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^{2}+4 s+5}\right\}.
Informações dadas:
\text{função no domínio de Laplace: }\;F(s)=\frac{s}{s^{2}+4 s+5}.çãí
O que se pede:
\text{encontrar }f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\},\; \text{função de }t.çã

Passo 2

Vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Calculemos
s^{2}+4s+5=(s+2)^{2}+1.
Explicação rápida do passo: (s+2)^{2}=s^{2}+4s+4, e somando 1 obtemos s^{2}+4s+5.

Passo 3

Reescrevemos o numerador s de modo a permitir a identificação com fórmulas conhecidas. Observamos que
s=(s+2)-2.
Isto é, adicionamos e subtraímos 2 para criar o termo s+2 que combina com o quadrado completado.

Passo 4

Substituindo no quociente obtemos a decomposição
\frac{s}{s^{2}+4s+5} = \frac{(s+2)-2}{(s+2)^{2}+1} = \frac{s+2}{(s+2)^{2}+1}-\frac{2}{(s+2)^{2}+1}.

Passo 5

Apresento as transformadas de Laplace-padrão que vamos usar e o significado das letras:
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}},
\mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Aqui t é a variável do tempo (no domínio original), s é a variável do domínio de Laplace, a é a constante do termo exponencial e^{at} e b é a frequência angular da função trigonométrica. Essas fórmulas vêm diretamente da integral definidora da transformada de Laplace e são pares padrão muito usados.

Passo 6

Compare cada termo da fração com as fórmulas acima:
  • O termo \dfrac{s+2}{(s+2)^{2}+1} tem a forma \dfrac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}} com a=-2 e b=1. Portanto sua transformada inversa é
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+2}{(s+2)^{2}+1}\right\}=e^{-2t}\cos t.
  • O termo \dfrac{2}{(s+2)^{2}+1} pode ser visto como 2\cdot\dfrac{1}{(s+2)^{2}+1}. A fração \dfrac{1}{(s+2)^{2}+1} tem a forma \dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}} com a=-2 e b=1, cuja inversa é e^{-2t}\sin t. Assim
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{(s+2)^{2}+1}\right\}=2e^{-2t}\sin t.
Lembre-se do sinal: na decomposição o segundo termo vinha com sinal negativo.

Passo 7

Somando os resultados (respeitando o sinal negativo) obtemos
f(t)=e^{-2t}\cos t - 2e^{-2t}\sin t.
Podemos fatorar e^{-2t} para ficar mais compacto:
f(t)=e^{-2t}\bigl(\cos t - 2\sin t\bigr).

Passo 8

Verificação rápida (opcional, para ficar tranquilo): aplicando a transformada de Laplace em e^{-2t}(\cos t-2\sin t) usando as fórmulas do Passo 5 recuperamos
\frac{s+2}{(s+2)^{2}+1}-\frac{2}{(s+2)^{2}+1}=\frac{s}{s^{2}+4s+5},
ou seja, bate com F(s). Tudo consistente!

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^{2}+4 s+5}\right\}=e^{-2t}\bigl(\cos t-2\sin t\bigr).

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