Determine a transformada inversa
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada inversa
Informações dadas:
O que se pede:
Passo 2
Vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Calculemos
Explicação rápida do passo:
, e somando
obtemos
.
Passo 3
Reescrevemos o numerador
de modo a permitir a identificação com fórmulas conhecidas. Observamos que
Isto é, adicionamos e subtraímos
para criar o termo
que combina com o quadrado completado.
Passo 4
Substituindo no quociente obtemos a decomposição
Passo 5
Apresento as transformadas de Laplace-padrão que vamos usar e o significado das letras:
Aqui
é a variável do tempo (no domínio original),
é a variável do domínio de Laplace,
é a constante do termo exponencial
e
é a frequência angular da função trigonométrica. Essas fórmulas vêm diretamente da integral definidora da transformada de Laplace e são pares padrão muito usados.
Passo 6
Compare cada termo da fração com as fórmulas acima:
- O termo
tem a forma com e . Portanto sua transformada inversa é
- O termo
pode ser visto como . A fração tem a forma com e , cuja inversa é . Assim
Lembre-se do sinal: na decomposição o segundo termo vinha com sinal negativo.
Passo 7
Somando os resultados (respeitando o sinal negativo) obtemos
Podemos fatorar
para ficar mais compacto:
Passo 8
Verificação rápida (opcional, para ficar tranquilo): aplicando a transformada de Laplace em
usando as fórmulas do Passo 5 recuperamos
ou seja, bate com
. Tudo consistente!