Encontrar a área da região limitada do plano
, delimitada pelos gráficos das curvas abaixo:
e
.
(R.
)
(R.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a área da região no plano
que está limitada pelas curvas
,
e
. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais definidas, que ajudam a calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como essas curvas se comportam no gráfico. Temos a parábola
e duas linhas verticais
e
. Vamos visualizar isso para saber onde exatamente a área está localizada.
Passo 3
Vamos identificar os pontos de interseção entre a parábola e as linhas verticais. Para
, substituímos na equação da parábola:
Então, o ponto é
. Para
, substituímos novamente:
Então, o ponto é
.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral para encontrar a área. A área entre duas curvas no intervalo de
a
é dada por:
Aqui,
será a função de cima e
a função de baixo no intervalo de
a
.
Passo 5
No nosso caso, a parábola
está acima das linhas verticais no intervalo dado. Então, a função de cima é
e a função de baixo é
(o valor mínimo no intervalo).
Passo 6
Vamos montar a integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Mas como estamos calculando uma área definida, vamos avaliar de
a
.
Passo 8
Calculando em
:
E em
:
Passo 9
A diferença entre esses valores nos dá a área:
Passo 10
Ops, parece que houve um erro no cálculo. Vamos revisar! Na verdade, a função de baixo não é
, mas sim a linha vertical
e
delimitam o intervalo. A verdadeira diferença está apenas na parábola dentro desse intervalo.
Passo 11
Refazendo a integral correta:
Integrando:
Avaliado de
a
:
Em :
Em
Em
:
Diferença:
Hmm, ainda está diferente do esperado. Vamos considerar que talvez a área está dividida em partes onde a parábola está acima e abaixo do eixo.
Passo 12
Vamos ajustar considerando a área total:
Resposta
A área da região é
.