Determine o volume do sólido abaixo da superfície e acima da região do plano que fica entre os círculos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está abaixo da superfície e acima de uma região no plano que fica entre dois círculos: um de raio 2 () e outro de raio 3 (). Para isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas em coordenadas polares, já que estamos lidando com círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar as equações para coordenadas polares, porque elas facilitam bastante quando temos simetria circular. Nas coordenadas polares, temos:
Isso significa que a superfície fica:
Então, só depende de agora.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. A região está entre os círculos de raio 2 e 3, então varia de 2 a 3. O ângulo completa uma volta inteira, de 0 a . Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é .
Passo 4
O volume que queremos encontrar é dado por uma integral dupla sobre a região definida:
Substituindo por :
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :