Determine o volume do sólido abaixo da superfície z=y^2x^2+y^2 e acima da região do plano x y que fica entre os círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está abaixo da superfície z = y^2x^2+y^2 e acima de uma região no plano xy que fica entre dois círculos: um de raio 2 ( x^2+y^2=4 ) e outro de raio 3 ( x^2+y^2=9 ). Para isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas em coordenadas polares, já que estamos lidando com círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as equações para coordenadas polares, porque elas facilitam bastante quando temos simetria circular. Nas coordenadas polares, temos:
x = r cos theta y = r sin theta x^2 + y^2 = r^2
Isso significa que a superfície z = y^2x^2+y^2 fica:
z = (r sin theta)^2r^2 = sin^2 theta
Então, z só depende de theta agora.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. A região está entre os círculos de raio 2 e 3, então r varia de 2 a 3. O ângulo theta completa uma volta inteira, de 0 a 2pi . Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é r , dr , dtheta .

Passo 4

O volume V que queremos encontrar é dado por uma integral dupla sobre a região definida:
V = integralr=2^3 integraltheta=0^2pi z cdot r , dtheta , dr
Substituindo z por sin^2 theta :
V = integral2^3 integral0^2pi sin^2 theta cdot r , dtheta , dr

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a theta :
integral0^2pi sin^2 theta , dtheta
Sabemos que:
sin^2 theta = 1 - cos(2theta)2
Então:
integral0^2pi 1 - cos(2theta)2 , dtheta = 12 [ theta - sin(2theta)2 ]0^2pi = 12 (2pi - 0) = pi
Agora, a integral fica:
V = integral2^3 r cdot pi , dr = pi integral2^3 r , dr

Passo 6

Vamos calcular a última integral:
integral2^3 r , dr = r^22 g|2^3 = 92 - 42 = 52
Multiplicando pela pi :
V = pi cdot 52 = 5pi2

Resposta

O volume do sólido é 5pi2 unidades cúbicas.

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