Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
f2(t)= 5, & t=1, 2, & t=6, t, & t neq 1,6

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f2(t)= 5, & t=1, 2, & t=6, t, & tneq1,6
Portanto o conteúdo é a definição de transformada de Laplace
Lf(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
e o fato de que mudanças em pontos isolados não afetam esse integral.

Passo 2

Como o integral de Riemann ignora valores em conjuntos de medida zero, trocar o valor de f apenas em t=1 e t=6 não altera a transformada. Logo
Lf2(s) =Lg(s),
onde g(t)=t para todo t>=0.

Passo 3

Pela definição,
Lg(s) =integral0^inftyt,e^-st,dt,
válido para Re(s)>0.

Passo 4

Calculemos
integral0^inftyt,e^-st,dt
por partes, tomando
u = t, ,du=dt,
dv = e^-stdt, ,v=-1se^-st.
Então
integral0^inftyt,e^-stdt =l-tse^-str|0^infty +1sintegral0^inftye^-stdt
O primeiro termo tende a zero em ttoinfty e é zero em t=0. O segundo é
1sintegral0^inftye^-stdt =1sl[,-1se^-str]0^infty =1scdot1s =1s^2

Resposta

boxedLf2(s)=1s^2, Re(s)>0

Exercícios relacionados