Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
f1(t)= t, & t=1,2,3, ldots, e^t, & t neq 1,2,3, ldots

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f1(t)= t, & t=1,2,3,dots, e^t, & tneq1,2,3,dots
Lembrando que a transformada de Laplace de uma função f(t) é
Lf(s)=integral0^inftyf(t),e^-st,dt,
para valores de s em que a integral converja.

Passo 2

Note que o conjunto 1,2,3,dots é contável e tem medida zero em [0,infty). Modificar f1(t) em pontos isolados não altera o valor da integral de Laplace. Portanto, podemos substituir f1(t) por
e^tquase em toda parte,
sem mudar Lf1(s).

Passo 3

Substituindo f1(t)=e^t na definição, temos
Lf1(s) =integral0^inftye^t,e^-st,dt =integral0^inftye^-(s-1)t,dt

Passo 4

Para Re(s)>1 a integral converge e seu valor é
integral0^inftye^-(s-1)t,dt =[e^-(s-1)t-(s-1)]0^infty =1s-1

Resposta

Lf1(t)(s)=1s-1, Re(s)>1

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