Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
f2(t)= e^t, & t neq 5,8, 6, & t=5, 0, & t=8

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f2(t)= e^t, & tneq 5,8, 6, & t=5, 0, & t=8
O conteúdo é a definição de transformada de Laplace e a observação de que alterar o valor da função em pontos isolados (de medida zero) não muda o resultado da integral.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace de uma função f(t) é
Lf(t)(s) =integral0^inftye^-stf(t),dt
Como mudar f(t) em valores isolados não altera a integral de Lebesgue (nem de Riemann impropriamente convergente), podemos ignorar os comportamentos em t=5 e t=8 e tomar f2(t)=e^t para quase todo t.

Passo 3

Substituindo f2(t)=e^t na integral, obtemos
Lf2(t)(s) =integral0^inftye^-ste^t,dt =integral0^inftye^-(s-1)t,dt
Essa integral converge se, e somente se, a parte real de s-1 for positiva, ou seja Re(s)>1.

Passo 4

Cálculo da integral:
integral0^inftye^-(s-1)t,dt =[e^-(s-1)t-(s-1)]0^infty =1s-1,
pois e^-(s-1)tto0 quando ttoinfty se Re(s-1)>0.

Resposta

Lf2(t)(s) =1s-1, Re(s)>1

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