Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
f3(t)=e^t.
Qual das funções anteriores é a transformada de Laplace inversa de 1 /(s-1) ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a transformada de Laplace de f3(t)=e^t.
  • Identificar, entre as funções cujo Laplace já calculamos, qual é a transformada de Laplace inversa de tfrac1s-1.
    Para isso vamos usar a definição da transformada de Laplace e a propriedade padrão
    Le^a t(s)=tfrac1s-a (quando Re(s)>a).

Passo 2

Aplicando diretamente a definição
Le^t(s) =integral0^inftye^-s t,e^t,dt =integral0^inftye^-(s-1),t,dt
essa integral converge para Re(s)>1 e vale
integral0^inftye^-(s-1)t,dt =1s-1
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Le^t(s) =1s-1, Re(s)>1

Passo 3

Como vimos, a transformada de Laplace de e^t é exatamente tfrac1s-1.
Portanto, a função cuja transformada inversa de tfrac1s-1 é f3(t)=e^t.

Resposta

Le^t(s)=1s-1 e a transformada de Laplace inversa de tfrac1s-1 é f3(t)=e^t.

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