Para a função x tg x -pi / 2<x<pi / 2:
a) Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=xtan x, -pi2<x<pi2,
e pede os intervalos onde f é crescente ou decrescente. Vamos usar derivação e teste do sinal de f'(x) para monotonicidade.

Passo 2

Usando a regra do produto, obtemos
f'(x)=ddx(x),tan x + x,ddx(tan x) =tan x + xsec^2 x

Passo 3

Para analisar o sinal de f'(x), escrevemos tudo sobre cos^2x:
f'(x) =sin xcos x+xcos^2x =sin xcos x + xcos^2x
Em -pi2<x<pi2, cos^2x>0. Logo o sinal de f'(x) é o mesmo do numerador
N(x)=x+sin xcos x

Passo 4

Analisamos N(x). Sua derivada é
N'(x)=1+(cos^2x-sin^2x)=1+cos2x=2cos^2x>0
em -pi2<x<pi2. Assim N é estritamente crescente e, como N(0)=0, segue
N(x)<0 para x<0, N(x)>0 para x>0

Passo 5

Portanto
f'(x)<0 em l(-tfracpi2,0r), f'(x)>0 em l(0,tfracpi2r),
logo f é decrescente em l(-pi2,0r) e crescente em l(0,pi2r).

Resposta

f é decrescente em l(-tfracpi2,0r) e crescente em l(0,tfracpi2r).

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