Determine a transformada de Laplace, por definição, das seguintes funçÔes:
cx , se 0 <= x <= 2 2 , se x>2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace, usando a definição, de uma função que é definida de um jeito específico:
f(x) = x, & se 0 <= x <= 2 2, & se x > 2
Então, o conteúdo aqui é Transformada de Laplace, uma ferramenta que transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar dividir a função em duas partes conforme definido e aplicar a definição da Transformada de Laplace em cada uma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Laplace. Ela é dada por:
Lf(x)(s) = integral0^infty e^-s x f(x) , dx
Aqui, $ s $ é uma variável complexa, mas a gente vai tratar como uma constante durante a integração.

Passo 3

Nossa função $ f(x) $ está dividida em duas partes. Então, vamos separar a integral em dois intervalos:
f(x)
Isso facilita porque podemos calcular cada parte separadamente.

Passo 4

Vamos calcular a primeira integral:
integral0^2 e^-s x x , dx
Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, onde escolhemos:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^-s x dx Rightarrow v = -1s e^-s x

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes ($ \int u , dv = uv - \int v , du $):
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 6

Agora, vamos calcular os limites:
-xs e^-s x |0^2 = -2s e^-2s - (-0s e^0) = -2s e^-2s
E a segunda integral:
1s integral0^2 e^-s x , dx = 1s [ -1s e^-s x ]0^2 = 1s ( -1s e^-2s + 1s ) = 1s^2 (1 - e^-2s)

Passo 7

Então, juntando tudo da primeira integral:
integral0^2 e^-s x x , dx = -2s e^-2s + 1s^2 (1 - e^-2s) = 1s^2 - 2s e^-2s - 1s^2 e^-2s
= 1s^2 - e^-2s ( 2s + 1s^2 )

Passo 8

Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral2^infty e^-s x cdot 2 , dx = 2 integral2^infty e^-s x , dx
Essa é uma integral simples de exponencial:
2 [ -1s e^-s x ]2^infty = 2 ( 0 - ( -1s e^-2s ) ) = 2s e^-2s

Passo 9

Agora, vamos somar as duas integrais que calculamos:
Lf(x)(s) = ( 1s^2 - e^-2s ( 2s + 1s^2 ) ) + 2s e^-2s
Simplificando:
Lf(x)(s) = 1s^2 - e^-2ss^2

Resposta

A Transformada de Laplace da função dada é:
Lf(x)(s) = 1s^2 (1 - e^-2s)

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