Determine a transformada de Laplace, por definição, das seguintes funçÔes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace, usando a definição, de uma função que é definida de um jeito específico:
Então, o conteúdo aqui é Transformada de Laplace, uma ferramenta que transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar dividir a função em duas partes conforme definido e aplicar a definição da Transformada de Laplace em cada uma.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Laplace. Ela é dada por:
Aqui, $ s $ é uma variável complexa, mas a gente vai tratar como uma constante durante a integração.
Passo 3
Nossa função $ f(x) $ está dividida em duas partes. Então, vamos separar a integral em dois intervalos:
Isso facilita porque podemos calcular cada parte separadamente.
Passo 4
Vamos calcular a primeira integral:
Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, onde escolhemos:
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes ($ \int u , dv = uv - \int v , du $):
Passo 6
Agora, vamos calcular os limites:
E a segunda integral:
Passo 7
Então, juntando tudo da primeira integral:
Passo 8
Agora, vamos calcular a segunda integral:
Essa é uma integral simples de exponencial:
Passo 9
Agora, vamos somar as duas integrais que calculamos:
Simplificando:
Resposta
A Transformada de Laplace da função dada é: