Resolva as integrais a seguir.
integral0^1(1+t)(5+t^2) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral definida de (1 + t)(5 + t^2) de 0 a 1. Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar expandir os termos dentro da integral e depois integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo. Multiplicando (1 + t) por (5 + t^2) :
(1 + t)(5 + t^2) = 1 cdot 5 + 1 cdot t^2 + t cdot 5 + t cdot t^2 = 5 + t^2 + 5t + t^3

Passo 3

Agora que temos a expressão expandida, podemos reescrever a integral assim:
integral0^1 (5 + t^2 + 5t + t^3) , dt
Isso permite que a gente integre cada termo separadamente.

Passo 4

Vamos integrar cada termo individualmente:
  1. integral 5 , dt = 5t
  2. integral t^2 , dt = t^33
  3. integral 5t , dt = 5t^22
  4. integral t^3 , dt = t^44
Então, a integral completa fica:
5t + t^33 + 5t^22 + t^44

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1. Substituímos t = 1 e depois t = 0 :
Para t = 1 :
5(1) + 1^33 + 5(1)^22 + 1^44 = 5 + 13 + 52 + 14
Para t = 0 :
5(0) + 0^33 + 5(0)^22 + 0^44 = 0
Agora, subtraímos o valor em 0 do valor em 1:
5 + 13 + 52 + 14 = 5 + 0,333 + 2,5 + 0,25 = 8,083
Convertendo para frações:
5 = 6012, 13 = 412, 52 = 3012, 14 = 312
Somando:
6012 + 412 + 3012 + 312 = 9712

Resposta

A integral vale 9712 ou aproximadamente 8,08.

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