Resolva as integrais a seguir.
integral e^x1+e^x d x

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral integral e^x1+e^x , dx. Isso está relacionado ao conteúdo de integrais que envolvem funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Olhando para o denominador 1 + e^x, uma boa ideia é definir u = 1 + e^x. Isso porque a derivada de u em relação a x será du/dx = e^x, o que aparece no numerador da integral.

Passo 3

Agora, vamos expressar dx em termos de du. Da nossa substituição, temos:
du = e^x , dx Rightarrow dx = due^x
Mas como u = 1 + e^x, podemos escrever e^x = u - 1, mas isso vai complicar. Em vez disso, vamos substituir diretamente na integral.

Passo 4

Substituindo u e du na integral original:
integral e^x1 + e^x , dx = integral duu
Essa é uma integral básica que sabemos que é ln|u| + C, onde C é a constante de integração.

Passo 5

Por último, vamos voltar à variável original substituindo u = 1 + e^x:
ln|1 + e^x| + C

Resposta

ln(1 + e^x) + C

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