Sabendo-se que vale a seguinte propriedade da transformada de Laplace
EntĂŁo determine
, a partir desta propriedade e da linearidade, se:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisa achar a transformada de Laplace dela, ou seja,
. A matéria que vamos usar aqui é a transformada de Laplace, mais especificamente a propriedade de linearidade e a fórmula para transformar potências de
. Vamos precisar aplicar essas ideias para cada termo da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da propriedade de linearidade da transformada de Laplace. Isso significa que a transformada de uma soma de funções é igual à soma das transformadas de cada função. Ou seja:
Vamos aplicar isso na nossa função
.
Passo 3
Aplicando a linearidade, a transformada de
fica:
Agora, vamos transformar cada termo individualmente usando a propriedade fornecida.
Passo 4
Para o primeiro termo
, usamos a fórmula:
Aqui,
, então:
Multiplicando pelo coeficiente 2:
Passo 5
Para o segundo termo
, novamente usamos a fórmula com
:
Então:
Passo 6
Para o terceiro termo constante
, lembramos que a transformada de uma constante
é:
Portanto:
Passo 7
Agora, juntando tudo que calculamos: