Sabendo-se que vale a seguinte propriedade da transformada de Laplace
Lt^n=n!s^n+1, s>0 e n inteiro positivo
EntĂŁo determine Ly, a partir desta propriedade e da linearidade, se:
y=2 t^3-t+3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função y = 2 t^3 - t + 3 e precisa achar a transformada de Laplace dela, ou seja, Ly . A matéria que vamos usar aqui é a transformada de Laplace, mais especificamente a propriedade de linearidade e a fórmula para transformar potências de t . Vamos precisar aplicar essas ideias para cada termo da função y .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da propriedade de linearidade da transformada de Laplace. Isso significa que a transformada de uma soma de funções é igual à soma das transformadas de cada função. Ou seja:
La f(t) + b g(t) = a Lf(t) + b Lg(t)
Vamos aplicar isso na nossa função y = 2 t^3 - t + 3 .

Passo 3

Aplicando a linearidade, a transformada de y fica:
Ly = L2 t^3 - Lt + L3
Agora, vamos transformar cada termo individualmente usando a propriedade fornecida.

Passo 4

Para o primeiro termo 2 t^3 , usamos a fórmula:
Lt^n = n!s^n+1
Aqui, n = 3 , então:
Lt^3 = 3!s^4 = 6s^4
Multiplicando pelo coeficiente 2:
L2 t^3 = 2 times 6s^4 = 12s^4

Passo 5

Para o segundo termo -t , novamente usamos a fórmula com n = 1 :
Lt = 1!s^2 = 1s^2
Então:
L-t = -1s^2

Passo 6

Para o terceiro termo constante 3 , lembramos que a transformada de uma constante a é:
La = as
Portanto:
L3 = 3s

Passo 7

Agora, juntando tudo que calculamos:
Ly = 12s^4 - 1s^2 + 3s

Resposta

Ly = 12s^4 - 1s^2 + 3s

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