Determine a transformada de Laplace, por definição, das seguintes funçÔes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função $ x^{2} $. A matéria que estamos usando aqui é a Transformada de Laplace, que é super útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas no domínio da frequência. Para isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Laplace e saber como aplicar integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é definida por:
Onde:
- $ s $ é uma variável complexa.
- $ t $ é o tempo.
- $ \mathcal{L}{f(t)} $ é a transformada de Laplace de $ f(t) $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) = x^{2} $. Substituindo na fórmula da transformada, temos:
Aqui, estamos integrando a função $ x^{2} $ multiplicada por $ e^{-s x} $ de 0 ao infinito.
Passo 4
Para resolver essa integral, podemos usar uma fórmula de integração conhecida para funções do tipo $ x^{n} e^{-s x} $. A integral geral é:
No nosso caso, $ n = 2 $. Então, substituindo:
Resposta
A transformada de Laplace de $ x^{2} $ é: