Determine a transformada de Laplace, por definição, das seguintes funçÔes:
x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função $ x^{2} $. A matéria que estamos usando aqui é a Transformada de Laplace, que é super útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas no domínio da frequência. Para isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Laplace e saber como aplicar integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é definida por:
f(t)
Onde:
  • $ s $ é uma variável complexa.
  • $ t $ é o tempo.
  • $ \mathcal{L}{f(t)} $ é a transformada de Laplace de $ f(t) $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) = x^{2} $. Substituindo na fórmula da transformada, temos:
f(x) = x^2
Aqui, estamos integrando a função $ x^{2} $ multiplicada por $ e^{-s x} $ de 0 ao infinito.

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos usar uma fórmula de integração conhecida para funções do tipo $ x^{n} e^{-s x} $. A integral geral é:
x^n e^-s x
No nosso caso, $ n = 2 $. Então, substituindo:
integral0^infty x^n e^-s x , dx = n!s^n+1

Resposta

A transformada de Laplace de $ x^{2} $ é:
x^2

Exercícios relacionados