Encontre a Transformada de Laplace de f(t)=4 e^{3 t}-2 \sin (t).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=4e^{3t}-2\sin(t).
O conteúdo aqui é a Transformada de Laplace e vamos usar duas propriedades principais: a linearidade e as fórmulas conhecidas \mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s - a} (para \Re(s)>a) e \mathcal{L}\{\sin(t)\}=\frac{1}{s^{2}+1} (para \Re(s)>0).

Passo 2

Aplicamos a linearidade da transformada de Laplace, que diz
\mathcal{L}\{A\,g(t)+B\,h(t)\} = A\,\mathcal{L}\{g(t)\}+B\,\mathcal{L}\{h(t)\}.
No nosso caso,
\mathcal{L}\{4e^{3t}-2\sin(t)\} =4\,\mathcal{L}\{e^{3t}\}-2\,\mathcal{L}\{\sin(t)\}.

Passo 3

Usamos as fórmulas individuais:
\mathcal{L}\{e^{3t}\} =\frac{1}{s-3},\quad \Re(s)>3,
\mathcal{L}\{\sin(t)\} =\frac{1}{s^{2}+1},\quad \Re(s)>0.
Logo,
4\,\mathcal{L}\{e^{3t}\} =\frac{4}{s-3}, \quad -2\,\mathcal{L}\{\sin(t)\} =-\frac{2}{s^{2}+1}.

Passo 4

Somando os resultados, obtemos a transformada de f(t):
\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{4}{s-3}-\frac{2}{s^{2}+1}.
Como ambos os termos exigem que \Re(s)> o maior polo, o domínio de validade é \Re(s)>3.

Resposta

\mathcal{L}\{4e^{3t}-2\sin(t)\} =\frac{4}{s-3}-\frac{2}{s^{2}+1},\quad \Re(s)>3.

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