Sejam
e
.
(a) Determine o ponto
simétrico ao ponto
em relação a
;
(b) Determine a distância de P a r.
(a) Determine o ponto
(b) Determine a distância de P a r.
Passo 1
O enunciado pede (a) o ponto simétrico de P em relação à reta r e (b) a distância de P a r. O conteúdo envolve projeção ortogonal de um ponto em uma reta no espaço e reflexão: vamos usar vetores, projeção e fórmulas de distância.
Passo 2
Escrevemos a reta r em forma paramétrica. Observando x=2 e y−2 = z−1 = t, escolhemos o ponto A=(2,2,1) e o vetor diretor v=(0,1,1).
Passo 3
Para encontrar o pé da perpendicular H de P sobre r, calculamos P−A = (1−2, 0−2, −2−1) = (−1, −2, −3). A projeção de P−A sobre v é
Então
Passo 4
O ponto simétrico P’ é tal que H é ponto médio de PP’. Logo, P’ = H + (H−P). Calculamos H−P = (2−1, -\tfrac12−0, -\tfrac32−(-2))=(1, -\tfrac12, \tfrac12). Então
$$P’ = (2, -\tfrac12, -\tfrac32) + (1, -\tfrac12, \tfrac12) = (3, -1, -1).
$$
Passo 5
A distância de P a r é o comprimento do segmento PH, ou seja |P−H|. Como P−H = (−1, \tfrac12, -\tfrac12), temos
$$d = \sqrt{(-1)^2 + (\tfrac12)^2 + (-\tfrac12)^2} = \sqrt{1 + \tfrac14 + \tfrac14} = \sqrt{\tfrac32} = \frac{\sqrt6}{2}.
$$
Resposta
O ponto simétrico é P’=(3,−1,−1) e a distância de P à reta r é d=\tfrac{\sqrt6}{2}.