Sejam P=(1,0,-2) e r: x=2 y-2=z-1.
(a) Determine o ponto P^prime simétrico ao ponto P em relação a r;
(b) Determine a distância de P a r.

Passo 1

O enunciado pede (a) o ponto simétrico de P em relação à reta r e (b) a distância de P a r. O conteúdo envolve projeção ortogonal de um ponto em uma reta no espaço e reflexão: vamos usar vetores, projeção e fórmulas de distância.

Passo 2

Escrevemos a reta r em forma paramétrica. Observando x=2 e y−2 = z−1 = t, escolhemos o ponto A=(2,2,1) e o vetor diretor v=(0,1,1).

Passo 3

Para encontrar o pé da perpendicular H de P sobre r, calculamos P−A = (1−2, 0−2, −2−1) = (−1, −2, −3). A projeção de P−A sobre v é
projv(P−A)=(P−A)cdot vvcdot v,v=-52(0,1,1)=(0, -tfrac52, -tfrac52)
Então
H = A + projv(P−A) = (2,2,1) + (0, -tfrac52, -tfrac52) = l(2, -tfrac12, -tfrac32r)

Passo 4

O ponto simétrico P’ é tal que H é ponto médio de PP’. Logo, P’ = H + (H−P). Calculamos H−P = (2−1, -\tfrac12−0, -\tfrac32−(-2))=(1, -\tfrac12, \tfrac12). Então
$$P’ = (2, -\tfrac12, -\tfrac32) + (1, -\tfrac12, \tfrac12) = (3, -1, -1).
$$

Passo 5

A distância de P a r é o comprimento do segmento PH, ou seja |P−H|. Como P−H = (−1, \tfrac12, -\tfrac12), temos
$$d = \sqrt{(-1)^2 + (\tfrac12)^2 + (-\tfrac12)^2} = \sqrt{1 + \tfrac14 + \tfrac14} = \sqrt{\tfrac32} = \frac{\sqrt6}{2}.
$$

Resposta

O ponto simétrico é P’=(3,−1,−1) e a distância de P à reta r é d=\tfrac{\sqrt6}{2}.

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