Sejam P=(1,-1,2) e a reta
r:(x, y, z)=(1+2 t,-t, 2-3 t), t in R
(a) Qual a distância entre P e a reta r?
(b) Qual o ponto Q simétrico a P em relação a reta r ?

Passo 1

O enunciado dá o ponto P=(1,-1,2) e a reta
rcolon(x,y,z)=(1+2t,,-t,;2-3t), tinR,
e pede:
(a) a distância de P a r;
(b) o ponto Q simétrico a P em relação a r.
O conteúdo envolvido é a fórmula da distância ponto-reta em R^3 e a projeção ortogonal para obter o ponto de pé da perpendicular, de onde se constrói o simétrico.

Passo 2

Escolhemos um ponto A na reta (quando t=0) e o vetor diretor d:
A=(1,0,2), d=(2,-1,-3)
Calculemos o vetor AP=P-A=(1, -1, 2)-(1,0,2)=(0,-1,0).
A distância de P a r é dada por
dist(P,r) =|APtimes d|| d|
Agora
APtimes d =(0,-1,0)times(2,-1,-3)=(3,0,2),
|APtimes d|=raiz3^2+0^2+2^2=raiz13, | d|=raiz2^2+(-1)^2+(-3)^2=raiz14
Logo
dist(P,r)=raiz13raiz14

Passo 3

Para encontrar o pé da perpendicular H de P em r, calculamos o parâmetro
t0= dcdotAP| d|^2 =(2,-1,-3)cdot(0,-1,0)14 =114
Então
H=A+t0, d =l(1+tfrac214,,0-tfrac114,,2-tfrac314r) =l(tfrac87,,-tfrac114,,tfrac2514r)

Passo 4

O ponto simétrico Q é tal que H é o ponto médio de PQ, isto é
Q=2H-P
Calculando coordenada a coordenada:
xQ=2cdottfrac87-1=tfrac167-tfrac77=tfrac97, yQ=2cdotl(-tfrac114r)-(-1)= -tfrac17+1=tfrac67,
zQ=2cdottfrac2514-2=tfrac5014-tfrac2814=tfrac117
Portanto
Q=l(tfrac97,,tfrac67,,tfrac117r)

Resposta

(a) raiz13raiz14
(b) Q=l(tfrac97,,tfrac67,,tfrac117r)

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