Sejam os conjuntos A= x mid x in Z, x^2<10 e B = x mid x=raizy, y in A, determine, caso possível (caso não seja possível justifique) os conjuntos complementares de A e B em relação a:
(b) Z

Passo 1

O enunciado define dois conjuntos:
A=xinZmid x^2<10 e
B=xmid x=raizy,,yin A,
e pede os complementares A^c e B^c em relação a Z. Para resolver, precisamos listar os elementos de A, depois de B, e então aplicar a definição de complementar em um universo Z.

Passo 2

Determinamos A resolvendo a desigualdade x^2<10 em inteiros:
x^2<10Longrightarrow -raiz10<x<raiz10Longrightarrow -3,16<x<3,16
Como x é inteiro, temos
A=-3,-2,-1,0,1,2,3

Passo 3

O complementar de A em Z é
A^c=Zsetminus A =xinZmid xnotin A =,xinZmid x<= -4 ou x>=4

Passo 4

Para formar B, tomamos cada yin A e calculamos x=raizy. Como estamos em R, a raiz só existe para y>=0. Portanto só usamos y=0,1,2,3 em A. Assim
B=raiz0,raiz1,raiz2,raiz3 =0,1,raiz2,raiz3

Passo 5

Queremos o complementar de B em Z. Note que raiz2 e raiz3 não são inteiros, logo como conjuntos em Z só interessam os elementos de B que estão em Z, ou seja 0,1. Assim
B^c=Zsetminus B =xinZmid xneq0,;xneq1

Resposta

A^c=xinZmid x<= -4 ou x>=4
B^c=xinZmid xneq0,;xneq1

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