Determine a transformada de Laplace da função:
f(t)=t;

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t. Vamos usar a definição
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-st}\,dt,
e, como aparece o produto t\cdot e^{-st}, vamos aplicar integração por partes.

Passo 2

Escrevendo diretamente a integral temos
\mathcal{L}\{t\}(s) =\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt.
Para a integração por partes, escolhemos
u = t \quad\text{e}\quad dv = e^{-st}\,dt.
Então
du = dt \quad\text{e}\quad v = \int e^{-st}\,dt = -\frac{1}{s}e^{-st}.

Passo 3

Pela fórmula \displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du, obtemos
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt =\left.\Bigl(-\frac{t}{s}e^{-st}\Bigr)\right|_{0}^{\infty} -\int_{0}^{\infty}\Bigl(-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr)\,dt.
Note que, para \Re(s)>0, \displaystyle\lim_{t\to\infty}t\,e^{-st}=0, e em t=0 o termo dá zero também. Logo só sobra
\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt =\frac{1}{s}\Bigl[\,-\tfrac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{\infty} =\frac{1}{s}\Bigl(0 -\bigl(-\tfrac{1}{s}\bigr)\Bigr) =\frac{1}{s^{2}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}},\quad \Re(s)>0.

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