Encontre as soluções particulares x_{p} das equações:
\ddot{x}+9 x=\operatorname{sec} (3 t),-\frac{\pi}{6}<t<\frac{\pi}{6}.

Passo 1

O enunciado pede encontrar uma solução particular x_{p}(t) da equação não homogênea
\ddot{x} + 9x = \operatorname{sec}(3t),
no intervalo -\pi/6 < t < \pi/6.
O conteúdo principal aqui é o método de parâmetros variáveis para equações lineares de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
\ddot{x} + 9x = 0.
A equação característica é
r^2 + 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm 3i,
logo as duas soluções fundamentais são
y_1(t) = \cos(3t), \qquad y_2(t) = \sin(3t).

Passo 3

Pelo método de parâmetros variáveis, procuramos
x_{p}(t) = u_1(t)\,y_1(t) + u_2(t)\,y_2(t)
com as condições suplementares
u_1'(t)\,y_1(t) + u_2'(t)\,y_2(t) = 0,
u_1'(t)\,y_1'(t) + u_2'(t)\,y_2'(t) = \operatorname{sec}(3t).
O Wronskiano de y_1,y_2 é
W = \begin{vmatrix} \cos(3t) & \sin(3t)\\\\ -3\sin(3t) & 3\cos(3t) \end{vmatrix} = 3\bigl(\cos^2(3t)+\sin^2(3t)\bigr) = 3.

Passo 4

As fórmulas para u_1' e u_2' ficam
u_1'(t) = -\frac{y_2(t)\,\bigl[\operatorname{sec}(3t)\bigr]}{W} = -\frac{\sin(3t)}{3\,\cos(3t)} = -\frac{\tan(3t)}{3},
u_2'(t) = \frac{y_1(t)\,\bigl[\operatorname{sec}(3t)\bigr]}{W} = \frac{\cos(3t)}{3\,\cos(3t)} = \frac{1}{3}.

Passo 5

Agora integramos para achar u_1 e u_2.
Para u_1:
u_1(t) = \int u_1'(t)\,dt = -\frac{1}{3}\int \tan(3t)\,dt.
Fazendo a substituição u=3t, du=3\,dt, obtemos
\int \tan(3t)\,dt = \frac{1}{3}\int \tan(u)\,du = -\frac{1}{3}\ln\bigl|\cos(u)\bigr| = -\frac{1}{3}\ln\bigl|\cos(3t)\bigr|.
Assim
u_1(t) = -\frac{1}{3}\cdot\Bigl(-\frac{1}{3}\ln\bigl|\cos(3t)\bigr|\Bigr) = \frac{1}{9}\ln\bigl|\cos(3t)\bigr|.
No intervalo dado \cos(3t)>0, então podemos tirar o valor absoluto.
Para u_2:
u_2(t) = \int u_2'(t)\,dt = \int \frac{1}{3}\,dt = \frac{t}{3}.

Passo 6

A solução particular é
x_{p}(t) = u_1(t)\,\cos(3t) + u_2(t)\,\sin(3t) = \frac{1}{9}\ln\bigl(\cos(3t)\bigr)\cos(3t) + \frac{t}{3}\,\sin(3t).

Resposta

x_{p}(t) = \frac{\cos(3t)}{9}\,\ln\bigl(\cos(3t)\bigr) + \frac{t\,\sin(3t)}{3}.

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