Determine a transformada de Laplace da função a seguir.
c(t)=(3 t+1) H(t-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir a transformada de Laplace da função c(t) = (3t + 1) H(t - 1) . Isso envolve o conteúdo de Transformadas de Laplace e a função de Heaviside H(t - a) . Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a propriedade de deslocamento da função de Heaviside na Transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de Heaviside H(t - a) . Ela vale 0 quando t < a e 1 quando t >= a . Isso significa que c(t) só começa a agir a partir de t = 1 .

Passo 3

A transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
No nosso caso, f(t) = (3t + 1) H(t - 1) . Como H(t - 1) é zero antes de t = 1 , a integral passa de 1 até o infinito:
Lc(t) = integral1^infty e^-st (3t + 1) , dt

Passo 4

Agora, vamos usar a propriedade de deslocamento da Transformada de Laplace:
Lf(t - a) H(t - a) = e^-as F(s)
onde F(s) é a transformada de Laplace de f(t) .

Passo 5

Para aplicar essa propriedade, precisamos reescrever c(t) na forma f(t - 1) H(t - 1) . Vamos fazer isso:
c(t) = (3t + 1) H(t - 1) = 3(t) H(t - 1) + 1 cdot H(t - 1)
Isso significa que f(t - 1) = 3t + 1 .

Passo 6

Aplicando a propriedade de deslocamento:
L3t H(t - 1) = 3 e^-s ( 1s^2 )
LH(t - 1) = e^-ss
Aqui, usamos que Lt = 1s^2 e L1 = 1s .

Passo 7

Agora, somamos as transformadas:
Lc(t) = 3 cdot e^-ss^2 + e^-ss = e^-s ( 3s^2 + 1s )

Resposta

A transformada de Laplace de c(t) = (3t + 1) H(t - 1) é:
Lc(t) = ( 3s^2 + 1s ) e^-s

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