Use o Teorema de Stokes para responder aos itens a seguir.
, onde
e
é a parte do parabolóide
чue está dentro do cilindro
, orientado para cima.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
é a parte do paraboloide
dentro do cilindro
, orientada para cima.
O conteúdo envolvido é o Teorema de Stokes e a projeção de superfície em gráfico sobre a região
no plano
.
O conteúdo envolvido é o Teorema de Stokes e a projeção de superfície em gráfico
Passo 2
Calculemos primeiro o rotacional de
. Por definição,
Isso dá
Passo 3
Para uma superfície dada por
orientada para cima, o vetor
pode ser escrito como
onde
é o elemento de área no plano
,
e
. Logo
Passo 4
Pelo Teorema de Stokes (na forma de projeção),
onde
. Como
, o produto interno fica
Expansão e coleta de termos pares/ímpares revelam que só sobrevivem, por simetria, os monômios
Assim
Passo 5
Passemos a coordenadas polares:
O integrando torna-se
e o elemento completo é
.
Passo 6
Integramos em
de
a
:
Logo
Usando médias trigonométricas
,
,
,
obtém-se
obtém-se