Use o Teorema de Stokes para responder aos itens a seguir.
integralegral duplaS rot F d S, onde F(x, y, z)=(x^2 z^2, y^2 z^2, x y̆ z) e S é a parte do parabolóide z=x^2+y^3 чue está dentro do cilindro x^2+y^2=4, orientado para cima.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaSrotvec Fcdot d S
onde vec F(x,y,z)=(x^2z^2,;y^2z^2,;xyz) e S é a parte do paraboloide z=f(x,y)=x^2+y^3 dentro do cilindro x^2+y^2=4, orientada para cima.
O conteúdo envolvido é o Teorema de Stokes e a projeção de superfície em gráfico z=f(x,y) sobre a região D no plano xy.

Passo 2

Calculemos primeiro o rotacional de . Por definição,
Isso dá

Passo 3

Para uma superfície dada por z=f(x,y) orientada para cima, o vetor
n,dS pode ser escrito como
(-fx,,-fy,,1),dA
onde dA é o elemento de área no plano xy, fx=2x e fy=3y^2. Logo
n,dS=(-2x,,-3y^2,,1),dA

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes (na forma de projeção),
integral duplaSrotvec Fcdot d S =integral duplaDrotvec F(x,y,f(x,y))cdot(-2x,-3y^2,1),dA,
onde D=(x,y)mid x^2+y^2<=4. Como z=f(x,y)=x^2+y^3, o produto interno fica
-2x,z,(x-2y^2);-;3y^2,z,(2x^2-y) com z=x^2+y^3
Expansão e coleta de termos pares/ímpares revelam que só sobrevivem, por simetria, os monômios
-2x^4-6x^4y^2+3y^6
Assim
integral duplaSrotvec Fcdot d S =integral duplax^2+y^2<=4l(-2x^4-6x^4y^2+3y^6r),dA

Passo 5

Passemos a coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta, 0<= r<=2,;0<=theta<=2pi
O integrando torna-se
-2r^4cos^4theta -6r^6cos^4thetasin^2theta +3r^6sin^6theta
e o elemento completo é l(-2r^5cos^4theta-6r^7cos^4thetasin^2theta+3r^7sin^6thetar)dr,dtheta.

Passo 6

Integramos em r de 0 a 2:
integral0^2-2r^5,dr=-tfrac643, integral0^2-6r^7,dr=-192, integral0^23r^7,dr=96
Logo
integral duplaSrotvec Fcdot d S =integral0^2pil( -tfrac643cos^4theta -192cos^4thetasin^2theta +96sin^6theta r)dtheta
Usando médias trigonométricas
integral0^2picos^4theta,dtheta=tfrac3pi4,
integral0^2picos^4thetasin^2theta,dtheta=tfracpi8,
integral0^2pisin^6theta,dtheta=tfrac5pi8,
obtém-se
-16pi-24pi+60pi=20pi

Resposta

20pi

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