Determine a transformada de Laplace da função a seguir.
f(t)=1+t H(t-7)-de<a(t-7)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=1 + t,H(t-7) - de<a(t-7)
Aqui o conteúdo é a propriedade de linearidade da transformada de Laplace e as transformadas conhecidas de 1, de t H(t-a) (ou seja, função multiplicada pelo degrau deslocado) e de de<a(t-a).

Passo 2

Aplicando linearidade, escrevemos
Lf(t) =L1 +Lt,H(t-7) -Lde<a(t-7)
Começando por L1, sabemos que
L1=integral0^inftye^-st,dt=1s

Passo 3

Para Lt,H(t-7) usamos a definição do degrau deslocado e integramos de 7 a infty:
Lt,H(t-7) =integral7^inftyt,e^-st,dt
Fazendo integração por partes com u=t, dv=e^-stdt (logo v=-tfrac1se^-st), obtemos
integral7^inftyt,e^-st,dt =[-tse^-st]7^infty +1sintegral7^inftye^-st,dt =e^-7sl(7s+1s^2r)

Passo 4

Para a parte do delta deslocado, lembramos que
Lde<a(t-7) =e^-7s

Passo 5

Somando tudo, temos
Lf(t) =1s +e^-7sl(7s+1s^2r) -e^-7s
Podemos deixar em forma fatorada com e^-7s ou distribuída, conforme convier.

Resposta

boxed L1 + t,H(t-7) - de<a(t-7) =1s +e^-7sl(7s+1s^2r) -e^-7s

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