Usando transformada de Laplace, resolva a equação diferencial para determinar a função y(t).
y^prime+2 y=2 t H(t-1)
y(0)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por transformada de Laplace, a equação diferencial
y'(t) + 2,y(t) = 2,t,H(t-1),
com condição inicial y(0)=5.
Conteúdo: transformada de Laplace em EDO de 1.º ordem com termo forçante envolvendo a função de Heaviside H(t-1). Vamos usar:
  1. Ly'(s)=sY(s)-y(0).
  2. Teorema do deslocamento: Lf(t)H(t-a)=e^-as,Lf(t+a).

Passo 2

Aplicando L em ambos os lados da EDO:
Ly' +2,Ly =2,Lt,H(t-1)
Isto é,
l(sY(s)-y(0)r)+2,Y(s)=2,e^-s,L(t+1),
pois pelo deslocamento t,H(t-1) vira (t+1) com fator e^-s.

Passo 3

Sabendo y(0)=5 e Lt+1=dfrac1s^2+dfrac1s, obtemos
sY(s)-5+2Y(s) =2,e^-sl(1s^2+1sr) ;;Longrightarrow;; Y(s),(s+2)=5+2,e^-sl(1s^2+1sr)
Logo
Y(s)=5s+2 +2,e^-s,1/s^2+1/ss+2

Passo 4

Vamos inverter termo a termo.
  1. L^-1!l5s+2r=5,e^-2t
  2. Para o segundo termo, escrevemos
1/s^2+1/ss+2 =1s^2(s+2)+1s(s+2)
e desmembramos por frações parciais, mas fica mais rápido reconhecer que
L^-1l1/s^2+1/ss+2r = t-tfrac12 +C,e^-2t
cujo deslocamento em t-1 será tratado pelo e^-s.

Passo 5

Em vez de repetir frações parciais, sabemos pela EDO diretamente que a solução é contínua e fica:
y(t)= 5,e^-2t,&0<= t<1, t-tfrac12 +K,e^-2t,&t>=1,
com K ajustado pela continuidade em t=1:
5,e^-2cdot1=1-tfrac12 +K,e^-2 ;Longrightarrow; K=5-tfrac12e^2

Resposta

A solução final, em forma única usando , é
Ou, de modo equivalente, em forma de definição por partes:

Exercícios relacionados