Usando transformada de Laplace, resolva a equação diferencial para determinar a função
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por transformada de Laplace, a equação diferencial
com condição inicial
.
Conteúdo: transformada de Laplace em EDO de 1.º ordem com termo forçante envolvendo a função de Heaviside . Vamos usar:
Conteúdo: transformada de Laplace em EDO de 1.º ordem com termo forçante envolvendo a função de Heaviside
-
. - Teorema do deslocamento:
.
Passo 2
Aplicando
em ambos os lados da EDO:
Isto é,
pois pelo deslocamento
vira
com fator
.
Passo 3
Sabendo
e
, obtemos
Logo
Passo 4
Vamos inverter termo a termo.
-
- Para o segundo termo, escrevemos
e desmembramos por frações parciais, mas fica mais rápido reconhecer que
cujo deslocamento em
será tratado pelo
.
Passo 5
Em vez de repetir frações parciais, sabemos pela EDO diretamente que a solução é contínua e fica:
com
ajustado pela continuidade em
:
Resposta
A solução final, em forma única usando
, é
Ou, de modo equivalente, em forma de definição por partes: