Usando transformada de Laplace, resolva a equação diferencial para determinar a função
.
Passo 1
Então, o enunciado nos dá a equação diferencial
com condições iniciais
e
.
Vamos usar a transformada de Laplace e o Teorema do Segundo Deslocamento (para ) para achar
e depois inverter.
Vamos usar a transformada de Laplace e o Teorema do Segundo Deslocamento (para
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em cada termo e usando
,
e
, obtemos
Para o lado direito escrevemos
com
, então
Passo 3
Somando os termos em
no lado esquerdo,
Como
, isolamos
Passo 4
Para a parte não deslocada fazemos frações parciais:
Invertendo a transformada resulta
Passo 5
No termo deslocado escrevemos
e por cálculo de coeficientes obtemos
,
,
,
. Logo
Invertendo e aplicando o deslocamento
com
, achamos
Passo 6
Somando as duas partes fica