Usando transformada de Laplace, resolva a equação diferencial para determinar a função y(t).
y^prime prime+3 y^prime+2 y=(2 t+1) H(t-3), y(0)=1, y^prime(0)=2

Passo 1

Então, o enunciado nos dá a equação diferencial
y'' + 3y' + 2y = (2t+1),H(t-3),
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=2.
Vamos usar a transformada de Laplace e o Teorema do Segundo Deslocamento (para H(t-3)) para achar Y(s)=Ly(t) e depois inverter.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo e usando
Ly''=s^2Y - s,y(0)-y'(0),
Ly'=sY - y(0) e
LH(t-3)f(t-3)=e^-3sLf(u), obtemos
l[s^2Y - scdot1 -2r]+3l[sY -1r]+2Y ;=; L(2t+1)H(t-3)
Para o lado direito escrevemos (2t+1)H(t-3)=g(t-3)H(t-3) com g(u)=2(u+3)+1=2u+7, então
L(2t+1)H(t-3) = e^-3s,L2u+7 = e^-3sl(2s^2+7sr)

Passo 3

Somando os termos em Y no lado esquerdo,
(s^2+3s+2),Y - (s+5) = e^-3sl(2s^2+7sr)
Como s^2+3s+2=(s+1)(s+2), isolamos
Y(s) = s+5(s+1)(s+2) ;+; e^-3s,tfrac2s^2+tfrac7s(s+1)(s+2)

Passo 4

Para a parte não deslocada fazemos frações parciais:
s+5(s+1)(s+2) = 4s+1-3s+2
Invertendo a transformada resulta
y1(t)=4e^-t-3e^-2t

Passo 5

No termo deslocado escrevemos
tfrac2s^2+tfrac7s(s+1)(s+2) =2+7ss^2(s+1)(s+2) =As+Bs^2+Cs+1+Ds+2,
e por cálculo de coeficientes obtemos A=2, B=1, C=-5, D=3. Logo
tfrac2s^2+tfrac7s(s+1)(s+2) = 2s+1s^2-5s+1+3s+2
Invertendo e aplicando o deslocamento tmapsto t-3 com H(t-3), achamos
y2(t) =H(t-3)l[ 2 + (t-3) -5e^-(t-3) +3e^-2(t-3) r] =H(t-3)l[ (t-1) -5e^-(t-3) +3e^-2(t-3) r]

Passo 6

Somando as duas partes fica
y(t)=y1(t)+y2(t) =4e^-t-3e^-2t +H(t-3)l[ (t-1) -5e^-(t-3) +3e^-2(t-3) r]

Resposta

y(t)=4e^-t-3e^-2t +H(t-3)l[(t-1)-5e^-(t-3)+3e^-2(t-3)r]

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