Determine a transformada de Laplace das funções:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a transformar é
. - A variável de integração é
e a variável da transformada é . - A transformada de Laplace que queremos calcular é
.
Passo 2
Definição e propriedades que vamos usar (explicadas com calma):
- Definição da transformada de Laplace: para uma função
definida em ,
onde
é um parâmetro real tal que a integral converge (tipicamente
para funções polinomiais multiplicadas por exponencial).
- Linearidade da transformada: se
e são constantes e funções adequadas, então
Isto nos permite calcular a transformada de um polinômio termo a termo.
Passo 3
Aplicando a linearidade à nossa função:
Agora vamos calcular cada uma das transformadas
,
e
separadamente.
Passo 4
Cálculo de
:
Usamos a definição direta:
Usamos a definição direta:
Essa integral é uma integral imprópria geométrica; calculamos primitiva e avaliamos os limites:
Assim,
Para
temos
, e em
obtemos
. Logo
Passo 5
Cálculo de
por integração por partes:
Recordando a fórmula da integração por partes: se e
são diferenciáveis,
Recordando a fórmula da integração por partes: se
Escolhemos
(para diminuir o grau) e
. Então
e
. Aplicando entre
e
,
O termo de fronteira
para
(a exponencial decai mais rápido que o polinômio cresce). Em
o termo é zero. Assim
Passo 6
Cálculo de
por integração por partes (uma vez, reduzindo para
):
Tomamos
Tomamos
Fazendo integração por partes com
e
, temos
e
. Aplicando os limites,
O termo de frente anula-se (
e em
é
). Restou:
Já calculamos
, então
(Observação pedagógica: para potências inteiras não-negativas vale a fórmula geral
quando
é inteiro, aqui com
dá
.)
Passo 7
Agora juntamos os resultados usando a decomposição do Passo 3:
Fazendo as multiplicações:
Passo 8
Podemos escrever a resposta em uma única fração com denominador
para ficar mais compacto: