Determine a transformada de Laplace das funções:
\mathcal{L}\left(2 x^{2}-3 x+4\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função \,2x^{2}-3x+4.
Informações dadas:
  • A função a transformar é \,f(x)=2x^{2}-3x+4.
  • A variável de integração é x e a variável da transformada é s.
  • A transformada de Laplace que queremos calcular é \mathcal{L}\!\left(2x^{2}-3x+4\right).

Passo 2

Definição e propriedades que vamos usar (explicadas com calma):
  • Definição da transformada de Laplace: para uma função f(x) definida em [0,\infty),
\mathcal{L}\{f(x)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\,f(x)\,dx,
onde s é um parâmetro real tal que a integral converge (tipicamente s>0 para funções polinomiais multiplicadas por exponencial).
  • Linearidade da transformada: se a e b são constantes e f,g funções adequadas, então
\mathcal{L}\{a f(x)+b g(x)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{f(x)\}(s)+b\,\mathcal{L}\{g(x)\}(s).
Isto nos permite calcular a transformada de um polinômio termo a termo.

Passo 3

Aplicando a linearidade à nossa função:
\mathcal{L}\{2x^{2}-3x+4\}(s)=2\,\mathcal{L}\{x^{2}\}(s)-3\,\mathcal{L}\{x\}(s)+4\,\mathcal{L}\{1\}(s).
Agora vamos calcular cada uma das transformadas \mathcal{L}\{1\}, \mathcal{L}\{x\} e \mathcal{L}\{x^{2}\} separadamente.

Passo 4

Cálculo de \mathcal{L}\{1\}(s):
Usamos a definição direta:
\mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\,dx.
Essa integral é uma integral imprópria geométrica; calculamos primitiva e avaliamos os limites:
\int e^{-s x}\,dx = -\frac{1}{s}e^{-s x}.
Assim,
\mathcal{L}\{1\}(s)=\left[-\frac{1}{s}e^{-s x}\right]_{0}^{\infty}.
Para s>0 temos \lim_{x\to\infty}e^{-s x}=0, e em x=0 obtemos e^{0}=1. Logo
\mathcal{L}\{1\}(s)=0-\left(-\frac{1}{s}\right)=\frac{1}{s},\qquad s>0.

Passo 5

Cálculo de \mathcal{L}\{x\}(s) por integração por partes:
Recordando a fórmula da integração por partes: se u(x) e v(x) são diferenciáveis,
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhemos u=x (para diminuir o grau) e dv=e^{-s x}dx. Então du=dx e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s x}. Aplicando entre 0 e \infty,
\mathcal{L}\{x\}(s)=\int_{0}^{\infty} x e^{-s x}\,dx =\left. -\frac{x}{s}e^{-s x}\right|_{0}^{\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\,dx.
O termo de fronteira \lim_{x\to\infty} x e^{-s x}=0 para s>0 (a exponencial decai mais rápido que o polinômio cresce). Em x=0 o termo é zero. Assim
\mathcal{L}\{x\}(s)=0-0 + \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}},\qquad s>0.

Passo 6

Cálculo de \mathcal{L}\{x^{2}\}(s) por integração por partes (uma vez, reduzindo para \mathcal{L}\{x\}):
Tomamos
\mathcal{L}\{x^{2}\}(s)=\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-s x}\,dx.
Fazendo integração por partes com u=x^{2} e dv=e^{-s x}dx, temos du=2x\,dx e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s x}. Aplicando os limites,
\mathcal{L}\{x^{2}\}(s)=\left. -\frac{x^{2}}{s}e^{-s x}\right|_{0}^{\infty} + \frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} x e^{-s x}\,dx.
O termo de frente anula-se ( \lim_{x\to\infty}x^{2}e^{-s x}=0 e em 0 é 0). Restou:
\mathcal{L}\{x^{2}\}(s)=\frac{2}{s}\,\mathcal{L}\{x\}(s).
Já calculamos \mathcal{L}\{x\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}}, então
\mathcal{L}\{x^{2}\}(s)=\frac{2}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{3}},\qquad s>0.
(Observação pedagógica: para potências inteiras não-negativas vale a fórmula geral \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{n}e^{-s x}\,dx=\frac{n!}{s^{n+1}} quando n é inteiro, aqui com n=2 2!/s^{3}=2/s^{3}.)

Passo 7

Agora juntamos os resultados usando a decomposição do Passo 3:
\mathcal{L}\{2x^{2}-3x+4\}(s)=2\cdot\frac{2}{s^{3}}-3\cdot\frac{1}{s^{2}}+4\cdot\frac{1}{s}.
Fazendo as multiplicações:
\mathcal{L}\{2x^{2}-3x+4\}(s)=\frac{4}{s^{3}}-\frac{3}{s^{2}}+\frac{4}{s}.

Passo 8

Podemos escrever a resposta em uma única fração com denominador s^{3} para ficar mais compacto:
\mathcal{L}\{2x^{2}-3x+4\}(s)=\frac{4s^{2}-3s+4}{s^{3}},\qquad s>0.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{2x^{2}-3x+4\}(s)=\frac{4s^{2}-3s+4}{s^{3}},\\ s>0

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