Utilize o método dos Coeficientes Indeterminados para resolver as EDO’s a seguir.
y^prime prime+9 y=t^2 e^3 t;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' + 9y = t^2 e^3t
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar (1) achar a solução geral da homogênea associada e (2) encontrar uma solução particular da não-homogênea, supondo uma forma adequada para yp.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a homogênea
y'' + 9y = 0
A equação característica é
r^2 + 9 = 0,
cuja raiz são
r = pm 3i
Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1cos(3t) + C2sin(3t)

Passo 3

Para a parte particular, como o segundo membro é t^2 e^3t (polinômio de grau 2 vezes exponencial e^3t) e 3 não é raiz da característica, supomos
yp(t) = (At^2 + Bt + C),e^3t,
onde A, B e C são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp. Seja P(t)=At^2+Bt+C. Então
yp = P,e^3t, yp' = (P' + 3P)e^3t, yp'' = (P'' + 6P' + 9P)e^3t
Substituindo em y''+9y obtemos
yp'' + 9yp = l(P'' + 6P' + 9P + 9Pr)e^3t = l(P'' + 6P' + 18Pr)e^3t

Passo 5

Agora P(t)=At^2+Bt+C
P' = 2At + B, P'' = 2A
Logo
P'' + 6P' + 18P = 2A + 6(2At+B) + 18(At^2+Bt+C)
Agrupando termos em potências de t, fica
18A,t^2 + (12A + 18B),t + l(2A + 6B + 18Cr)
que deve ser igual a t^2. Igualando coeficientes:
18A = 1, 12A + 18B = 0, 2A + 6B + 18C = 0
Dessas,
A = tfrac118, 12cdottfrac118 + 18B = 0implies B = -tfrac127, 2cdottfrac118 + 6l(-tfrac127r) + 18C = 0implies C = tfrac1162

Passo 6

Portanto a solução particular é
yp(t) = l(tfrac118t^2 - tfrac127t + tfrac1162r)e^3t
A solução geral da EDO é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1cos(3t) + C2sin(3t) + l(tfrac118t^2 - tfrac127t + tfrac1162r)e^3t

Resposta

y(t) = C1cos(3t) + C2sin(3t) + l(tfrac118t^2 - tfrac127t + tfrac1162r)e^3t

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