Determine a Transformada de Laplace inversa da função F(s)=\frac{3 s+1}{s^{2}+2 s+5}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{3s+1}{s^{2}+2s+5}.
O conteúdo aqui é usar a técnica de completar o quadrado no denominador e escrever F(s) como soma de frações que correspondem a transformadas conhecidas de e^{-t}\cos(2t) e e^{-t}\sin(2t).

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado no denominador:
s^{2}+2s+5 = (s+1)^{2}+4.
Em seguida, escrevemos o numerador 3s+1 em função de (s+1). Note que
3(s+1)-2 = 3s+3-2 = 3s+1.
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3s+1 = 3(s+1) - 2.

Passo 3

Substituindo na expressão de F(s), temos
F(s) = \frac{3(s+1)-2}{(s+1)^{2}+4} = 3\,\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4} \;-\;2\,\frac{1}{(s+1)^{2}+4}.

Passo 4

Usamos as transformadas conhecidas:
\mathcal{L}\{e^{-t}\cos(2t)\} = \frac{s+1}{(s+1)^{2}+2^{2}}, \quad \mathcal{L}\{e^{-t}\sin(2t)\} = \frac{2}{(s+1)^{2}+2^{2}}.
Portanto, ao inverter cada termo, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\Big\{3\,\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4}\Big\} = 3\,e^{-t}\cos(2t), \quad \mathcal{L}^{-1}\Big\{2\,\frac{1}{(s+1)^{2}+4}\Big\} = e^{-t}\sin(2t).
Como no segundo termo temos sinal negativo, a soma final é
f(t) = 3\,e^{-t}\cos(2t) \;-\; e^{-t}\sin(2t).

Resposta

f(t) = e^{-t}\bigl(3\cos(2t) - \sin(2t)\bigr).

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