Esboce o gráfico e calcule a Transformada de Laplace da função
f(t)=\left\{\begin{array}{lll} -t, & \text { se } & 0 \leq t<4, \\\ t-8, & \text { se } & 4 \leq t<8, \\\\ 0, & \text { se } & t \geq 8 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(t)= \begin{cases} -t, & 0 \le t<4,\\\ t-8, & 4 \le t<8,\\\\ 0, & t\ge8, \end{cases}
pede o esboço do gráfico e a transformada de Laplace. Para isso vamos usar a definição
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt
e quebrar a integral nos intervalos onde f muda de expressão.

Passo 2

O gráfico de f(t) é um “triângulo” que desce de f(0)=0 até f(4)=-4, depois sobe linearmente até f(8)=0 e fica em zero para t\ge8. Em detalhes:
— De t=0 a t=4, é a reta que parte de (0,0) com declive -1, chegando em (4,-4).
— De t=4 a t=8, é a reta que vai de (4,-4) a (8,0).
— Para t\ge8, f(t)=0.

Passo 3

Escrevemos a transformada como soma de duas integrais não nulas:
\mathcal{L}\{f\}(s) =\int_{0}^{4}(-t)e^{-st}\,dt +\int_{4}^{8}(t-8)e^{-st}\,dt.

Passo 4

Calculemos
I_{1}=\int_{0}^{4}(-t)e^{-st}\,dt.
Usando a fórmula
\int_{0}^{a}t\,e^{-st}\,dt =\frac{1-e^{-as}(1+as)}{s^{2}},
vem
I_{1} =-\frac{1-e^{-4s}(1+4s)}{s^{2}} =-\frac{1}{s^{2}}+\frac{e^{-4s}}{s^{2}}+\frac{4e^{-4s}}{s}.

Passo 5

Agora
I_{2}=\int_{4}^{8}(t-8)e^{-st}\,dt.
Fazemos a mudança t = u+4, de modo que u vai de 0 a 4 e t-8 = u-4. Então
I_{2} =\int_{0}^{4}(u-4)e^{-s(u+4)}\,du =e^{-4s}\int_{0}^{4}(u-4)e^{-su}\,du.
Quebrando em dois termos e usando fórmulas conhecidas, chega-se a
I_{2} =\frac{e^{-4s}}{s^{2}}\bigl(1-4s - e^{-4s}\bigr).

Passo 6

Somando I_{1}+I_{2} e coletando em denominação comum s^{2}, obtemos
\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{-1 +2e^{-4s}-e^{-8s}}{s^{2}} =\frac{2e^{-4s}-1-e^{-8s}}{s^{2}}.

Resposta

\boxed{ \mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{2\,e^{-4s}-1-e^{-8s}}{s^{2}}. }

Exercícios relacionados