Questão 1) Você foi contratado para avaliar um estudo de autodepuração de um corpo d’água. A avaliação do local revelou um único ponto de lançamento de efluente e comportamento pistonado, pouco disperso do corpo d’água. As informações levantadas no estudo foram: \mathrm{DBO}_{5}{ }^{20}=430 \mathrm{mg} / \mathrm{L} do efluente lançado no rio, \mathrm{k} 1=0,25 / dia \left(20^{\circ} \mathrm{C}\right), \mathrm{k} 2=0,5 / dia \left(20^{\circ} \mathrm{C}\right), ODsat =8 \mathrm{mg} / \mathrm{L}, vazão de efluente =0,2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, vazão do rio =10 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, e \mathrm{DBO}_{5}{ }^{20}=2 \mathrm{mg} / \mathrm{L}. Sabe-se que se trata de um rio de classe 2 com uma velocidade de 0,25 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e temperatura média de 25^{\circ} \mathrm{C}. Sobre o estudo realizado, calcule:
a) O tempo em dias e a distância em km para atingir o OD mínimo no caso avaliado
b) O tempo em dias e a distância em km para atingir o OD de rio de classe 2
c) O tempo em dias e a distância em km para atingir o OD próximo a saturação do rio
d) Qual é o percentual de remoção da DBO do efluente para que o OD no rio atinja o valor de classe 2 em metade do tempo em dias e da distância em km, em comparação a letra b.

Passo 1

O enunciado fala de um lançamento pontual de efluente num rio (fluxo pistonado), e pede para calcular, usando o modelo de Streeter–Phelps:
– a) tempo e distância para atingir o OD mínimo (sag peak),
– b) tempo e distância para OD cair a 6 mg/L (classe 2),
– c) tempo e distância para OD ficar “próximo à saturação” (supondo déficit de 0,1 mg/L),
– d) redução de DBO do efluente para que o rio atinja OD =6 mg/L em metade do tempo/distância do item b.
Para isso vamos precisar de: mistura instantânea para achar deficiência inicial D_0 e carga inicial de DBO L_0, correção de k_1 e k_2 para 25\circC, velocidade de 0,25 m/s \Rightarrow 21,6 km/dia, e a equação de déficit
D(t)=D_0\,e^{-k_2t}+\frac{k_1L_0}{k_2-k_1}\bigl(e^{-k_1t}-e^{-k_2t}\bigr)\,.

Passo 2

1. Mistura instantânea de vazões Q_r=10 m^{3}/s com DBO _5 de 2 mg/L e Q_e=0,2 m^{3}/s com DBO _5 de 430 mg/L:
L_0=\frac{10\cdot 2+0{,}2\cdot 430}{10{,}2}\approx 10{,}392\;\text{mg/L}.
2. Supomos que o efluente chega com OD =0, o rio a 8 mg/L, então
\text{OD}_\text{m}=\frac{10\cdot 8+0{,}2\cdot 0}{10{,}2}\approx 7{,}843\;\text{mg/L} \quad\Rightarrow\quad D_0=8-7{,}843=0{,}157\;\text{mg/L}.
3. Correção de temperatura ( \theta=1{,}047, \Delta T=5 \circC):
k_1=0{,}25\,(1{,}047)^5\approx0{,}315\;/\text{dia}, \quad k_2=0{,}50\,(1{,}047)^5\approx0{,}629\;/\text{dia}.
4. Velocidade do rio em km/dia:
0{,}25\;\frac{\text{m}}{\text{s}}\times86400\;\frac{\text{s}}{\text{dia}}=21600\;\text{m/dia}=21{,}6\;\text{km/dia}.

Passo 3

Para achar o tempo t_{\text{min}} do OD mínimo, usamos
t_{\text{min}} =\frac{1}{k_2-k_1}\ln\frac{k_2}{k_1} =\frac{1}{0{,}629-0{,}315}\ln\frac{0{,}629}{0{,}315} \approx2{,}20\;\text{dias}.
A distância correspondente é
x_{\text{min}}=21{,}6\;\frac{\text{km}}{\text{dia}}\times2{,}20\;\text{dias} \approx47{,}6\;\text{km}.
O déficit máximo é
D_{\max} =D_0e^{-k_2t_{\text{min}}} +\frac{k_1L_0}{k_2-k_1}\bigl(e^{-k_1t_{\text{min}}}-e^{-k_2t_{\text{min}}}\bigr) \approx2{,}637\;\text{mg/L},
logo
\text{OD}_{\min}=8-D_{\max}\approx8-2{,}637=5{,}363\;\text{mg/L}.

Passo 4

Para OD =6 mg/L o déficit é D=8-6=2 mg/L, resolvemos numericamente
D(t)=0{,}157e^{-0{,}629t}+10{,}392\bigl(e^{-0{,}315t}-e^{-0{,}629t}\bigr)=2.
Iterando, obtemos
t_{6}\approx0{,}89\;\text{dias}, \quad x_{6}=21{,}6\times0{,}89\approx19{,}2\;\text{km}.

Passo 5

Para OD “próximo à saturação” tomamos déficit D=0,1 mg/L e resolvemos
0{,}157e^{-0{,}629t}+10{,}392\bigl(e^{-0{,}315t}-e^{-0{,}629t}\bigr)=0{,}1,
que dá
t_{\text{sat}}\approx14{,}8\;\text{dias}, \quad x_{\text{sat}}=21{,}6\times14{,}8\approx319\;\text{km}.

Passo 6

Queremos agora que o rio atinja OD =6 mg/L em metade do tempo/distância do item b, isto é em t=0{,}89/2=0{,}445 dias. Mas usando os valores originais de carga e as mesmas equações, nesse tempo o OD já estaria em torno de 6,7 mg/L (logo acima de 6 mg/L). Portanto não é necessária redução de DBO para cumprir esse requisito: a remoção percentual de DBO é zero.

Resposta

a) t_{\min}\approx2{,}20\;\text{dias}, x_{\min}\approx47{,}6\;\text{km} (OD _{\min}\approx5{,}36 mg/L).
b) t_{6}\approx0{,}89\;\text{dias}, x_{6}\approx19{,}2\;\text{km}.
c) t_{\text{sat}}\approx14{,}8\;\text{dias}, x_{\text{sat}}\approx319\;\text{km}.
d) Não é preciso remover DBO para isso: remoção =0 %.

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