Para que X(t) permaneça ao longo de uma reta fixa, só pode haver um modo presente, isto é, ou c_1=0 ou c_2=0.
Se c_1=0, então X(0)=c_2\,(1,-2)^T, que fica na reta y=-2x.
Se c_2=0, então X(0)=c_1\,(1,2)^T, que fica na reta y=2x.
Resposta
a) X(t) =c_1\,e^{-4t}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} +c_2\,e^{-8t}\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}.
b) A solução está em uma reta quando X(0) é múltiplo de \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} (reta y=2x) ou de \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix} (reta y=-2x).