Questão: a) Determine a solução geral do sistema X^{\prime}=A X onde
A=\left(\begin{array}{cc} -6 & 1 \\\\ 4 & -6 \end{array}\right)
b) Para que condições iniciais X(0) a solução está contida em uma reta?

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes
\frac{dX}{dt}=A\,X
onde
A=\begin{pmatrix}-6 & 1\\[6pt]4 & -6\end{pmatrix},
e, em seguida, quer saber para que condições iniciais X(0) a trajetória fica confinada a uma reta. Vamos usar o método de autovalores e autovetores.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}-6-\lambda & 1\\[4pt]4 & -6-\lambda\end{pmatrix} =(-6-\lambda)^2-4\cdot1 =\lambda^2+12\lambda+32.
As raízes deste polinômio são
\lambda=\frac{-12\pm\sqrt{144-128}}{2}=\frac{-12\pm4}{2},
logo \lambda_1=-8 e \lambda_2=-4.]

Passo 3

Para \lambda_2=-4 resolvemos (A+4I)v=0:
\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt]4 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 \;\Rightarrow\;-2x+y=0\;\Rightarrow\;y=2x.
Um autovetor é v_2=(1,2)^T.
Para \lambda_1=-8 resolvemos (A+8I)v=0:
\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 \;\Rightarrow\;2x+y=0\;\Rightarrow\;y=-2x.
Um autovetor é v_1=(1,-2)^T.]

Passo 4

Como temos autovalores distintos, a solução geral é combinação linear dos modos:
X(t) =c_1\,e^{-4t}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} +c_2\,e^{-8t}\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix},
onde c_1 e c_2 vêm de X(0).

Passo 5

Para que X(t) permaneça ao longo de uma reta fixa, só pode haver um modo presente, isto é, ou c_1=0 ou c_2=0.
  • Se c_1=0, então X(0)=c_2\,(1,-2)^T, que fica na reta y=-2x.
  • Se c_2=0, então X(0)=c_1\,(1,2)^T, que fica na reta y=2x.

Resposta

a) X(t) =c_1\,e^{-4t}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} +c_2\,e^{-8t}\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}.
b) A solução está em uma reta quando X(0) é múltiplo de \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} (reta y=2x) ou de \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix} (reta y=-2x).

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