Determine a transformada de Laplace inversa das funções:
F(s)=\frac{2 s-1}{\left(s^{2}-1\right)\left(4 s^{2}+4 s+5\right)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{2s-1}{(s^2-1)\,(4s^2+4s+5)}.
Conteúdo: vamos usar frações parciais para decompor F(s) em soma de termos cujas inversas são conhecidas, e em seguida aplicar fórmulas de
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s-a}\Bigr\}=e^{at},\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s+a}{(s+a)^2+b^2}\Bigr\}=e^{-at}\cos(bt), \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{b}{(s+a)^2+b^2}\Bigr\}=e^{-at}\sin(bt).

Passo 2

Fatoramos o denominador:
(s^2-1)(4s^2+4s+5)=(s-1)(s+1)(4s^2+4s+5).
Procuramos uma decomposição
\frac{2s-1}{(s-1)(s+1)(4s^2+4s+5)} =\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+1}+\frac{Cs+D}{4s^2+4s+5}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+1)(4s^2+4s+5) e igualando coeficientes, obtemos o sistema
2s-1 = A\,(s+1)(4s^2+4s+5) + B\,(s-1)(4s^2+4s+5) + (Cs+D)(s^2-1).

Passo 3

Da expansão, igualando coeficientes de s^3,s^2,s^1,s^0, surge o sistema
\begin{cases} 4A+4B+C=0,\\\\ 8A+D=0,\\\\ 9A+B-C=2,\\\\ 5A-5B-D=-1. \end{cases}
Resolvendo:
A=\frac1{26},\quad B=\frac3{10},\quad C=-\frac{88}{65},\quad D=-\frac{4}{13}.
Logo
F(s) =\frac{1/26}{s-1}+\frac{3/10}{s+1}+\frac{-\tfrac{88}{65}\,s-\tfrac{4}{13}}{4s^2+4s+5}.

Passo 4

Para o termo quadrático, fazemos o “completar o quadrado”:
4s^2+4s+5 =4\bigl((s+\tfrac12)^2+1\bigr).
Reescrevemos
-\tfrac{88}{65}s-\tfrac{4}{13} =-\tfrac{88}{65}\bigl(s+\tfrac12\bigr) +\underbrace{\Bigl(-\tfrac{4}{13}+\tfrac{88}{65}\,\tfrac12\Bigr)}_{=\tfrac{24}{65}},
de modo que
\frac{Cs+D}{4s^2+4s+5} =-\frac{22}{65}\,\frac{s+\tfrac12}{(s+\tfrac12)^2+1} +\frac{6}{65}\,\frac{1}{(s+\tfrac12)^2+1}.

Passo 5

Agora aplicamos as transformadas inversas conhecidas:
  1. \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s-1}\}=e^t.
  2. \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s+1}\}=e^{-t}.
  3. \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s+\tfrac12}{(s+\tfrac12)^2+1}\}=e^{-t/2}\cos t.
  4. \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+\tfrac12)^2+1}\}=e^{-t/2}\sin t.
Somando tudo, obtemos
f(t) =\frac1{26}e^{t} +\frac{3}{10}e^{-t} -\frac{22}{65}\,e^{-t/2}\cos t +\frac{6}{65}\,e^{-t/2}\sin t.

Resposta

f(t) =\frac{1}{26}e^{t} +\frac{3}{10}e^{-t} -\frac{22}{65}\,e^{-t/2}\cos t +\frac{6}{65}\,e^{-t/2}\sin t.

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