Determine a Transformada de Laplace inversa da seguinte função:
g(t)=lll1, & se & 0 <= t<pi 0, & se & pi <= t<infty

Passo 1

O enunciado nos dá a função em regime permanente
g(t)= 1, & 0 <= t < pi, 0, & t >= pi,
e pede a transformada de Laplace de g(t). Para isso, vamos usar a definição
Lg(t) = integral0^infty g(t),e^-s t,dt.

Passo 2

Pela definição,
Lg(t) = integral0^infty g(t),e^-s t,dt
Como g(t)=1 em [0,pi) e g(t)=0 em [pi,infty), a integral de 0 a infty reduz-se a um integral de 0 a pi:
Lg(t) = integral0^pi 1cdot e^-s t,dt

Passo 3

Para calcular
integral0^pi e^-s t,dt
usamos a primitiva de e^-s t:
integral e^-s t,dt = -1s,e^-s t
Logo,
integral0^pi e^-s t,dt = l[-tfrac1se^-s tr]0^pi = -1se^-spi - l(-1se^0r) = 1 - e^-spis

Passo 4

Portanto a transformada de Laplace de g(t) é
Lg(t) = 1 - e^-pi ss,
válida para Re(s)>0.

Resposta

Lg(t) = 1 - e^-pi ss, Re(s)>0

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