Questão 11. Dadas as séries A=sumn=0^infty n(x+2)^n3^n+1, B=sumn=0^infty x^2 n(2 n)! e C=sumn=0^infty x^n, sendo RA, RB e RC os raios de convergência das séries A, B e ^n=0, respectivamente; e IA, IB e IC ^n=S intervalos de convergência das séries A, B e C, respectivamente, complete, cada sentença abaixo, com as informações solicitadas:
RB= e a série B é (convergente ou divergente) em x=-2.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência RB da série
B=sumn=0^inftyx^2n(2n)!
e, em seguida, verificar se ela converge ou diverge em x=-2. Para isso vamos usar o teste da razão para séries de potências e depois avaliar o termo geral em x=-2.

Passo 2

Seja
an = x^2n(2n)!
Aplicando o teste da razão:
limntoinfty|an+1an| = limntoinfty |x|^2(n+1)(2n+2)!,(2n)!|x|^2n = limntoinfty|x|^2(2n+1)(2n+2) =0
Como esse limite é 0<1 para todo xinR, a série converge absolutamente para qualquer valor de x. Logo
RB = infty

Passo 3

Em x=-2 temos o termo geral
an = (-2)^2n(2n)! = 2^2n(2n)!
Como já vimos que o teste da razão dá zero independentemente de x, em particular em x=-2 a série também converge absolutamente. Logo, em x=-2, a série B é convergente.

Resposta

RB=infty e a série B é convergente em x=-2.

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