Questão 11. Dadas as séries A=sumn=0^infty n(x+2)^n3^n+1, B=sumn=0^infty x^2 n(2 n)! e C=sumn=0^infty x^n, sendo RA, RB e RC os raios de convergência das séries A, B e ^n=0, respectivamente; e IA, IB e IC ^n=S intervalos de convergência das séries A, B e C, respectivamente, complete, cada sentença abaixo, com as informações solicitadas:
IA= e IB=

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência de duas séries de potências:
– Série A:
A=sumn=0^inftyn,(x+2)^n3^n+1
– Série B:
B=sumn=0^inftyx^2n(2n)!
Para isso, vamos usar o teste da razão na série A e o teste da raiz na série B, determinar os raios de convergência e então verificar (se preciso) a convergência nos pontos extremos.

Passo 2

Aplicando o teste da razão em
an=n,(x+2)^n3^n+1,
calculamos
L=limntoinfty|an+1an| =limntoinfty(n+1)n,|x+2|3 =|x+2|3
Para convergência é necessário L<1, ou seja
|x+2|<3Longrightarrow -3<x+2<3 Longrightarrow -5<x<1
Logo, o raio de convergência é RA=3 e o intervalo aberto candidato é (-5,1).
Agora, nos extremos:
  • Em x=1, o termo geral é tfracncdot3^n3^n+1=tfracn3, que não tende a zero, logo diverge.
  • Em x=-5, o termo geral é tfracn(-3)^n3^n+1=tfracn(-1)^n3, cujos módulos tfracn3 também não vão a zero, logo diverge.
    Portanto, o intervalo de convergência de A é
IA = (-5,,1)

Passo 3

Para a série
B=sumn=0^inftyx^2n(2n)!,
usamos o teste da raiz:
L=limntoinftyraiz[n]|x|^2n(2n)! =|x|^2limntoinfty(2n)!^1/n
Pelo crescimento fatorial sabe-se que (2n)!^1/ntoinfty, logo L=0 para todo x. Isso implica raio de convergência infinito, RB=infty, e a série converge para todo real. Assim,
IB = (-infty,,infty)

Resposta

IA=(-5,,1)
IB=(-infty,,infty)

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