Questão 11. Dadas as séries e , sendo e os raios de convergência das séries e , respectivamente; e e intervalos de convergência das séries e , respectivamente, complete, cada sentença abaixo, com as informações solicitadas:
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência de duas séries de potências:
– Série :
– Série :
Para isso, vamos usar o teste da razão na série e o teste da raiz na série , determinar os raios de convergência e então verificar (se preciso) a convergência nos pontos extremos.
Logo, o raio de convergência é RA=3 e o intervalo aberto candidato é (-5,1).
Agora, nos extremos:
Em x=1, o termo geral é tfracncdot3^n3^n+1=tfracn3, que não tende a zero, logo diverge.
Em x=-5, o termo geral é tfracn(-3)^n3^n+1=tfracn(-1)^n3, cujos módulos tfracn3 também não vão a zero, logo diverge.
Portanto, o intervalo de convergência de A é
Pelo crescimento fatorial sabe-se que (2n)!^1/ntoinfty, logo L=0 para todo x. Isso implica raio de convergência infinito, RB=infty, e a série converge para todo real. Assim,