Questão 11. Dadas as séries A=sumn=0^infty n(x+2)^n3^n+1, B=sumn=0^infty x^2 n(2 n)! e C=sumn=0^infty x^n, sendo RA, RB e RC os raios de convergência das séries A, B e ^n=0, respectivamente; e IA, IB e IC ^n=S intervalos de convergência das séries A, B e C, respectivamente, complete, cada sentença abaixo, com as informações solicitadas:
RC= e a série C é (convergente ou divergente) em x=2.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência RC da série
C=sumn=0^inftyx^n
e quer saber se ela é convergente ou divergente em x=2. Vamos usar o teste da razão para séries de potências.

Passo 2

Aplicando o teste da razão à série C, temos os termos an=x^n.
O quociente entre termos consecutivos é
|an+1an| =|x^n+1x^n| =|x|
Para convergir, precisamos de limntoinfty|an+1/an|<1, ou seja |x|<1. Logo,
RC=1

Passo 3

Em x=2 temos |2|=2>1, portanto a condição |x|<1 não é satisfeita. Isso implica que a série diverge em x=2.

Resposta

RC=1 e a série C é divergente em x=2.

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