Determine a Transformada de Laplace inversa da seguinte função:
Passo 1
O enunciado define uma função em partes e pede a transformada de Laplace de cada trecho; o conteúdo é Transformada de Laplace de função por partes, e vamos precisar usar a integral definida
e integração por partes.
Passo 2
Escrevemos a transformada de Laplace como soma de integrais sobre os intervalos onde
é diferente de zero:
$$F(s)=\int_0^1 t,e^{-st}dt ;+
\int_1^2 (2-t),e^{-st}dt.$$
Passo 3
Para a primeira integral, fazemos integração por partes com
e
, obtendo
Passo 4
Para a segunda integral, separamos em duas:
Calculamos cada uma e chegamos a
Passo 5
Somando ambas as integrais temos
$$F(s)=\Bigl(\frac{1}{s^2} - e{-s}\bigl(\frac{1}{s}+\frac{1}{s2}\bigr)\Bigr)+\Bigl(e^{-s}\frac{1}{s} + \frac{e{-2s}-e{-s}}{s^2}\Bigr).
$$
Passo 6
Fatorando e simplificando obtemos
$$F(s)=\frac{1-2e{-s}+e{-2s}}{s^2} = \frac{(1-e{-s})2}{s^2}.
$$