Determine a Transformada de Laplace inversa da seguinte função:

Passo 1

O enunciado define uma função em partes e pede a transformada de Laplace de cada trecho; o conteúdo é Transformada de Laplace de função por partes, e vamos precisar usar a integral definida Lf(t)=integral0^inftyf(t)e^-stdt e integração por partes.

Passo 2

Escrevemos a transformada de Laplace como soma de integrais sobre os intervalos onde f(t) é diferente de zero:
$$F(s)=\int_0^1 t,e^{-st}dt ;+
\int_1^2 (2-t),e^{-st}dt.$$

Passo 3

Para a primeira integral, fazemos integração por partes com u=t e dv=e^-stdt, obtendo
integral0^1 t e^-stdt = l(-tse^-st - 1s^2e^-str)|0^1 = 1s^2 - e^-sl(1s+1s^2r)

Passo 4

Para a segunda integral, separamos em duas:
integral1^2(2-t)e^-stdt = 2integral1^2 e^-stdt - integral1^2 t e^-stdt
Calculamos cada uma e chegamos a
integral1^2(2-t)e^-stdt = e^-s1s + e^-2s-e^-ss^2

Passo 5

Somando ambas as integrais temos
$$F(s)=\Bigl(\frac{1}{s^2} - e{-s}\bigl(\frac{1}{s}+\frac{1}{s2}\bigr)\Bigr)+\Bigl(e^{-s}\frac{1}{s} + \frac{e{-2s}-e{-s}}{s^2}\Bigr).
$$

Passo 6

Fatorando e simplificando obtemos
$$F(s)=\frac{1-2e{-s}+e{-2s}}{s^2} = \frac{(1-e{-s})2}{s^2}.
$$

Resposta

F(s)=(1-e^-s)^2s^2

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