Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
y^prime prime-y^prime=e^t cos t, y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O problema é um EDO de segunda ordem não homogênea
y'' - y' = e^tcos t,
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. Vamos usar a transformada de Laplace para passar para o domínio de s, resolver algebricamente e depois aplicar a transformada inversa.

Passo 2

Tomando transformada de Laplace em ambos os lados, escrevendo Y(s)=Ly(t), usamos
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)=s^2Y(s),
Ly'=s,Y(s)-y(0)=s,Y(s),
e a propriedade de translação e^atf(t):
Le^tcos t =s-1(s-1)^2+1
Logo da EDO vem
(s^2Y(s)) - (sY(s)) = s-1(s-1)^2+1,
ou seja
(s^2 - s),Y(s) = s-1(s-1)^2+1

Passo 3

Isolando Y(s):
Y(s)=s-1(s-1)^2+1cdot1s(s-1) =1sl((s-1)^2+1r)
Fazemos a decomposição em frações parciais
1sl((s-1)^2+1r) =As+B(s-1)+C(s-1)^2+1
Multiplicando por s((s-1)^2+1) e comparando coeficientes, obtemos o sistema
A+B=0, -2A -B +C=0, 2A=1,
cuja solução é A=tfrac12, B=-tfrac12, C=tfrac12. Assim
Y(s) =1/2s -1/2,(s-1)(s-1)^2+1 +1/2(s-1)^2+1

Passo 4

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
L^-1l1/2sr =tfrac12, L^-1ls-1(s-1)^2+1r =e^tcos t, L^-1l1(s-1)^2+1r =e^tsin t
Portanto
y(t) =tfrac12 -tfrac12,e^tcos t +tfrac12,e^tsin t

Resposta

boxedy(t)=12l[1 - e^tcos t + e^tsin tr]

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