Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
O problema é um EDO de segunda ordem não homogênea
com condições iniciais
e
. Vamos usar a transformada de Laplace para passar para o domínio de
, resolver algebricamente e depois aplicar a transformada inversa.
Passo 2
Tomando transformada de Laplace em ambos os lados, escrevendo
, usamos
e a propriedade de translação
:
Logo da EDO vem
ou seja
Passo 3
Isolando
:
Fazemos a decomposição em frações parciais
Multiplicando por
e comparando coeficientes, obtemos o sistema
cuja solução é
,
,
. Assim
Passo 4
Aplicando a transformada inversa termo a termo:
Portanto