Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
y^prime+4 y=e^4 t, y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial
y'(t) + 4,y(t) = e^4t, y(0)=0,
usando a Transformada de Laplace. Vamos transformar ambos os lados, resolver no domínio s e depois aplicar a transformada inversa.

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo. Se denotarmos Ly(t)=Y(s), temos
Ly'(t) = s,Y(s) - y(0),
L4,y(t) = 4,Y(s),
Le^4t = 1s-4
Logo, a equação transformada é
s,Y(s) - y(0) + 4,Y(s) = 1s-4

Passo 3

Substituindo a condição inicial y(0)=0, obtemos
(s + 4),Y(s) = 1s-4 Longrightarrow Y(s) = 1(s-4)(s+4)

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais:
1(s-4)(s+4) = As-4 + Bs+4,
onde
1 = A(s+4) + B(s-4)
Igualando coeficientes,
A + B = 0, 4A - 4B = 1 ;Longrightarrow; A = tfrac18,; B = -tfrac18
Assim
Y(s) = 18,1s-4 - 18,1s+4

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa:
y(t) = 18,e^4t - 18,e^-4t = 18l(e^4t-e^-4tr)

Resposta

y(t) = 18l(e^4t-e^-4tr)

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