Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{(s+1)^{2}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a transformada de Laplace inversa da função racional em s:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{(s+1)^{2}}\right\}.
Informações dadas/importantes:
  • A expressão no domínio de s é \dfrac{s}{(s+1)^{2}}.
  • Precisamos encontrar uma função de t (para t\ge 0) cuja transformada de Laplace seja a função dada.
  • Não há figura ou tabela; só usamos a expressão algébrica fornecida.

Passo 2

Primeiro faço uma manipulação algébrica simples para decompor a fração em termos mais conhecidos. Escrevo s como (s+1)-1. Assim
\frac{s}{(s+1)^{2}}=\frac{(s+1)-1}{(s+1)^{2}}=\frac{s+1}{(s+1)^{2}}-\frac{1}{(s+1)^{2}}.
Agora simplifico cada termo:
\frac{s+1}{(s+1)^{2}}=\frac{1}{s+1},
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\frac{s}{(s+1)^{2}}=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^{2}}.

Passo 3

Vou lembrar (e explicar) duas transformadas de Laplace básicas que vou usar na inversa, e porque elas valem:
  1. Transformada de e^{-at}:
\mathcal{L}\{e^{-at}\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{-at}\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s+a)t}\,dt=\frac{1}{s+a},
para \Re(s)>-a. Aqui a é uma constante e t é a variável do tempo. Portanto, a inversa é
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-at}.
  1. Transformada de t\,e^{-at}: uso a propriedade que diz que multiplicar a função por t no tempo corresponde a diferenciar negativamente sua transformada no domínio s:
\mathcal{L}\{t f(t)\}=-\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{f(t)\}.
Aplicando a f(t)=e^{-at}, cuja transformada é \dfrac{1}{s+a}, obtemos
\mathcal{L}\{t e^{-at}\}=-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s+a}\right)=\frac{1}{(s+a)^{2}}.
Assim, a inversa é
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+a)^{2}}\right\}=t e^{-at}.
Essas são fórmulas padrão e muito úteis — memorize esse par: \mathcal{L}\{e^{-at}\}=\dfrac{1}{s+a} e \mathcal{L}\{t e^{-at}\}=\dfrac{1}{(s+a)^2}.

Passo 4

Agora volto à decomposição obtida no Passo 2:
\frac{s}{(s+1)^{2}}=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^{2}}.
Pelo que vimos no Passo 3, as inversas são:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=e^{-t},
e
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+1)^{2}}\right\}=t e^{-t}.
Usando linearidade da transformada inversa (a inversa da soma é a soma das inversas), temos
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{(s+1)^{2}}\right\}=e^{-t}-t e^{-t}.

Passo 5

Fatorando e^{-t} para deixar a resposta numa forma bonita e prática para decorar:
e^{-t}-t e^{-t}=(1-t)\,e^{-t}.
Interpretação rápida: a função no tempo é um expoente decrescente multiplicado por um polinômio linear (1-t); lembra que para potências de t multiplicadas por e^{-at} a transformada produz potências correspondentes de (s+a) no denominador.

Resposta

(1-t)e^{-t}

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