Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a transformada de Laplace inversa da função racional em
:
Informações dadas/importantes:
- A expressão no domínio de
é . - Precisamos encontrar uma função de
(para ) cuja transformada de Laplace seja a função dada. - Não há figura ou tabela; só usamos a expressão algébrica fornecida.
Passo 2
Primeiro faço uma manipulação algébrica simples para decompor a fração em termos mais conhecidos. Escrevo
como
. Assim
Agora simplifico cada termo:
logo
Passo 3
Vou lembrar (e explicar) duas transformadas de Laplace básicas que vou usar na inversa, e porque elas valem:
- Transformada de
:
para
. Aqui
é uma constante e
é a variável do tempo. Portanto, a inversa é
- Transformada de
: uso a propriedade que diz que multiplicar a função por no tempo corresponde a diferenciar negativamente sua transformada no domínio :
Aplicando a
, cuja transformada é
, obtemos
Assim, a inversa é
Essas são fórmulas padrão e muito úteis — memorize esse par:
e
.
Passo 4
Agora volto à decomposição obtida no Passo 2:
Pelo que vimos no Passo 3, as inversas são:
e
Usando linearidade da transformada inversa (a inversa da soma é a soma das inversas), temos
Passo 5
Fatorando
para deixar a resposta numa forma bonita e prática para decorar:
Interpretação rápida: a função no tempo é um expoente decrescente multiplicado por um polinômio linear
; lembra que para potências de
multiplicadas por
a transformada produz potências correspondentes de
no denominador.