Determine a transformada de Laplace:
\mathrm{f}(\mathrm{t})=3 e^{2 t}+2 \operatorname{sen}^{2}(3 t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
\mathrm{f}(t)=3e^{2t}+2\sin^{2}(3t).
Vamos usar a linearidade da transformada, a tabela de transformadas de e^{at} e de \cos(\omega t), e a identidade de meia-ângulo para \sin^{2}.

Passo 2

Pela tabela,
\mathcal{L}\{e^{2t}\}(s)=\frac{1}{s-2},
então
\mathcal{L}\{3e^{2t}\}(s) =3\cdot\frac{1}{s-2} =\frac{3}{s-2}.

Passo 3

Usamos a identidade de meia-ângulo
\sin^{2}(3t) =\frac{1-\cos(6t)}{2},
portanto
2\sin^{2}(3t)=1-\cos(6t).
Aplicando a transformada:
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}, \quad \mathcal{L}\{\cos(6t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+36},
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\mathcal{L}\{2\sin^{2}(3t)\}(s) =\frac{1}{s}-\frac{s}{s^{2}+36}.

Passo 4

Pela linearidade, somamos os resultados obtidos:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\frac{3}{s-2} +\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{s}{s^{2}+36}\Bigr).

Resposta

\boxed{ \mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\frac{3}{s-2} +\frac{1}{s} -\frac{s}{s^{2}+36} }.

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