Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.
\mathrm{F}(\mathrm{s})=\frac{4}{(s-3)^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de Laplace
F(s)=\frac{4}{(s-3)^{2}}
e pede a transformada de Laplace inversa, ou seja, encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s). O conteúdo principal aqui é usar a propriedade conhecida de transformadas de potências multiplicadas por exponenciais.

Passo 2

Lembramos que, para todo a\in\mathbb{R} e inteiro n\ge0, vale
\mathcal{L}\{t^{n}e^{at}\}(s) =\int_{0}^{\infty}t^{n}e^{at}e^{-st}\,dt =\frac{n!}{(s-a)^{\,n+1}}
Em particular, para n=1 obtemos
\mathcal{L}\{t\,e^{at}\}(s) =\frac{1!}{(s-a)^{2}} =\frac{1}{(s-a)^{2}}

Passo 3

Na nossa função está
F(s)=\frac{4}{(s-3)^{2}} =4\;\frac{1}{(s-3)^{2}}
Pela linearidade da transformada inversa e pelo caso a=3 acima, concluímos que
f(t)=4\;\bigl(t\,e^{3t}\bigr)

Resposta

A transformada de Laplace inversa é
f(t)=4\,t\,e^{3t}.

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