I_{d}=\int \frac{\ln ^{2}(x)}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral \displaystyle I_{d}=\int \frac{\ln^{2}(x)}{x}\,dx.
O tema é integração por substituição, pois vemos \ln(x) e dx/x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \ln(x), \quad du = \frac{dx}{x}.
Com isso, o integrando \ln^{2}(x)/x\,dx vira u^{2}\,du.

Passo 3

A integral em u é imediata:
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, como u=\ln(x), obtemos
I_{d} = \frac{(\ln(x))^{3}}{3} + C.

Resposta

\boxed{\,\frac{\ln^{3}(x)}{3} + C\,}.

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