Use as tabelas de transformadas e propriedades para determinar as transformadas diretas ou inversas dos sinais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a transformada direta ou inversa do sinal $ x(t) = |t| e^{-2|t|} $. Vamos usar a transformada de Laplace para isso. Para resolver, precisamos conhecer as propriedades da transformada de Laplace e algumas tabelas de transformadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ x(t) = |t| e^{-2|t|} $. A função $ |t| $ representa o valor absoluto de $ t $, e $ e^{-2|t|} $ é uma exponencial decrescente. Juntas, elas formam uma função que é simétrica em relação ao eixo $ t $ e decresce exponencialmente à medida que $ |t| $ aumenta.
Passo 3
Para aplicar a transformada de Laplace, precisamos lembrar que a transformada de $ |t| $ não é direta nos pares conhecidos. Então, vamos reescrever a função para facilitar a aplicação da transformada. Sabemos que $ |t| $ pode ser representado como:
Mas como a transformada de Laplace geralmente lida com funções para $ t \geq 0 $, podemos considerar apenas a parte $ t \geq 0 $.
Passo 4
Então, para $ t \geq 0 $, a função se reduz a $ x(t) = t e^{-2t} $. Agora, vamos usar a tabela de transformadas de Laplace para encontrar $ \mathcal{L}{t e^{-2t}} $.
Passo 5
Sabemos que a transformada de Laplace de $ t e^{-at} $ é dada por:
Aqui, $ a = 2 $. Então, substituindo:
Passo 6
Portanto, a transformada de Laplace da função $ x(t) = |t| e^{-2|t|} $ para $ t \geq 0 $ é:
Resposta
A transformada de Laplace de $ x(t) = |t| e^{-2|t|} $ é $ X(s) = \frac{1}{(s + 2)^2} $.