Determine a Transformada de Laplace da seguinte função:
f(t)=rllt, & se & 0 <= t<1 2-t, & se & 0 <= t<2 0, & se & 2 <= t<infty

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace juntos! A questão pede para encontrarmos a Transformada de Laplace da função f(t) definida por partes:
f(t)=rll t, & se & 0 <= t < 1 2-t, & se & 1 <= t < 2 0, & se & 2 <= t < infty
Vamos precisar usar o conceito de Transformada de Laplace para funções definidas por partes e entender como aplicá-la em cada intervalo da função. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função f(t) do domínio do tempo t para o domínio da frequência s , facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo. A definição é:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
Como nossa função f(t) é definida por partes, vamos dividir a integral de acordo com os intervalos onde a função muda.

Passo 3

Vamos dividir a Transformada de Laplace em três partes correspondentes aos intervalos de f(t) :
  1. De 0 a 1 : f(t) = t
  2. De 1 a 2 : f(t) = 2 - t
  3. De 2 a infty : f(t) = 0
Assim, podemos escrever:
Lf(t) = integral0^1 e^-st cdot t , dt + integral1^2 e^-st cdot (2 - t) , dt + integral2^infty e^-st cdot 0 , dt
Como a terceira integral é zero, podemos ignorá-la. Então, nosso foco é nas duas primeiras integrais.

Passo 4

Vamos calcular a primeira integral:
I1 = integral0^1 e^-st cdot t , dt
Para resolver isso, usamos a fórmula da Transformada de Laplace para t :
Lt = 1s^2
No entanto, precisamos considerar os limites de integração de 0 a 1 . Então, o resultado será:
I1 = 1 - e^-s(1 + s)s^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda integral:
I2 = integral1^2 e^-st cdot (2 - t) , dt
Aqui, podemos separar a integral em duas partes:
I2 = 2 integral1^2 e^-st , dt - integral1^2 t e^-st , dt
Calculando cada parte:
2 integral1^2 e^-st , dt = 2 [ -e^-sts ]1^2 = 2s (e^-s - e^-2s)
integral1^2 t e^-st , dt = [ -t e^-sts ]1^2 + 1s integral1^2 e^-st , dt = -2 e^-2ss + 1 e^-ss + e^-2s - e^-ss^2
Juntando tudo:
I2 = 2s (e^-s - e^-2s) + 2 e^-2s - e^-ss - e^-2s - e^-ss^2
Simplificando:
I2 = e^-s - e^-2ss^2

Passo 6

Agora, somamos I1 e I2 para obter a Transformada de Laplace completa:
Lf(t) = I1 + I2 = 1 - e^-s(1 + s)s^2 + e^-s - e^-2ss^2
Simplificando os termos:
Lf(t) = 1 - e^-2ss^2

Resposta

A Transformada de Laplace da função f(t) é:
Lf(t) = 1 - e^-2ss^2

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