Questão 7. Em cada caso a seguir, usando o critério adequado, estude quanto à convergência.
sum1 n^2 e^-n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty n^2 e^-n
Como todos os termos são positivos, podemos usar o critério da razão de D’Alembert para verificar se ela converge.

Passo 2

Definimos an = n^2 e^-n. Então o quociente entre termos consecutivos é
an+1an = (n+1)^2 e^-(n+1)n^2 e^-n = gl(n+1ngr)^2 e^-1

Passo 3

Calculamos o limite desse quociente quando ntoinfty:
L = limntoinftyan+1an = limntoinftyl(1+tfrac1nr)^2 e^-1 = e^-1
Como e^-1<1, o critério da razão garante convergência absoluta.

Passo 4

Concluímos que a série converge, pois obtemos L=e^-1<1.

Resposta

A série sumn=1^infty n^2 e^-n converge absolutamente pelo critério da razão.

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