Questão 7. Em cada caso a seguir, usando o critério adequado, estude quanto à convergência.
sum2 frac(-1)^n(ln (n))^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=2^infty (-1)^nl(ln(n)r)^n
Isso é um teste de convergência de séries numéricas. Como o termo geral envolve uma potência em n, o critério da raiz (Cauchy) é o mais apropriado.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = (-1)^nl(ln(n)r)^n
e consideramos a série dos valores absolutos
sumn=2^infty lvert anrvert = sumn=2^infty 1l(ln(n)r)^n

Passo 3

Aplicamos o critério da raiz: calculamos
L ;=;limntoinfty raiz[n]lvert anrvert ;=;limntoinfty raiz[n]1(ln n)^n ;=;limntoinfty 1ln(n) ;=;0
Como L=0<1, a série sum lvert anrvert converge absolutamente.

Passo 4

Se a série de valores absolutos converge, então a série original converge absolutamente e, em particular, converge.

Resposta

A série
sumn=2^infty (-1)^nl(ln(n)r)^n
converge absolutamente (portanto converge).

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