Seja z=x^2+2 y x^2. Determine:
A derivada direcional com relação ao vetor sim v=(-1,1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada direcional da função z = x^2 + 2 y x^2 na direção do vetor v = (-1, 1) . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e como usar o vetor direção para achar a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função z = f(x, y) na direção de um vetor v = (vx, vy) é dada pela fórmula:
Dv f = fx vx + fy vy
Onde fx e fy são as derivadas parciais de f em relação a x e y , respectivamente.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais da função z = x^2 + 2 y x^2 em relação a x e y .
Derivada parcial em relação a x :
fx = partial zpartial x = 2x + 2y cdot 2x = 2x + 4xy
Derivada parcial em relação a y :
fy = partial zpartial y = 2x^2

Passo 4

Agora, temos as derivadas parciais:
fx = 2x + 4xy e fy = 2x^2
Precisamos usar essas derivadas na fórmula da derivada direcional. Primeiro, vamos identificar os componentes do vetor direção v = (-1, 1) , ou seja, vx = -1 e vy = 1 .

Passo 5

Substituindo as derivadas parciais e os componentes do vetor na fórmula da derivada direcional:
Dv f = fx vx + fy vy = (2x + 4xy)(-1) + (2x^2)(1)
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 6

Simplificando:
Dv f = -2x - 4xy + 2x^2
Podemos reorganizar os termos para facilitar a visualização:
Dv f = 2x^2 - 2x - 4xy

Resposta

A derivada direcional da função z = x^2 + 2 y x^2 na direção do vetor v = (-1, 1) é:
Dv f = 2x^2 - 2x - 4xy

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