Seja
. Determine:
A derivada direcional com relação ao vetor
;
A derivada direcional com relação ao vetor
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada direcional da função
na direção do vetor
. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e como usar o vetor direção para achar a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função
na direção de um vetor
é dada pela fórmula:
Onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, temos as derivadas parciais:
Precisamos usar essas derivadas na fórmula da derivada direcional. Primeiro, vamos identificar os componentes do vetor direção
, ou seja,
e
.
Passo 5
Substituindo as derivadas parciais e os componentes do vetor na fórmula da derivada direcional:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 6
Simplificando:
Podemos reorganizar os termos para facilitar a visualização:
Resposta
A derivada direcional da função
na direção do vetor
é: