Use Transformada de Laplace para calcular a integral imprópria:
integral0^infty sin tt d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^inftysin tt,dt
Vamos usar a ideia de introduzir um parâmetro s, calcular a transformada de Laplace
F(s)=integral0^inftye^-st,sin tt,dt
e depois recuperar o caso sto0. O conteúdo envolve transformada de Laplace, derivação sob o sinal de integral e análise de limites.

Passo 2

Definimos
F(s)=integral0^inftye^-st,sin tt,dt,
válido para s>0. Note que a integral que queremos é
integral0^inftysin tt,dt =limsto0^+F(s)

Passo 3

Derivando F(s) em relação a s por baixo do sinal de integral (válido para s>0):
F'(s) =ddsintegral0^inftye^-st,sin tt,dt =-integral0^inftyt,e^-st,sin tt,dt =-integral0^inftye^-st,sin t,dt
Sabemos que
integral0^inftye^-st,sin t,dt=1s^2+1,
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F'(s)=-1s^2+1

Passo 4

Agora integramos em s:
F(s) =-integral1s^2+1,ds+C =-arctan(s)+C

Passo 5

Para achar C, note que quando sto+infty temos F(s)to0 (pois e^-st anula a integral) e arctan(s)topi2. Assim,
0=F(infty)=-tfracpi2+C Rightarrow C=tfracpi2
Portanto
F(s)=pi2-arctan(s)

Passo 6

Finalmente, fazemos sto0^+:
integral0^inftysin tt,dt =limsto0^+F(s) =pi2-arctan(0) =pi2

Resposta

integral0^inftysin tt,dt=pi2

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