Use Transformada de Laplace para calcular a integral imprópria:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Vamos usar a ideia de introduzir um parâmetro
, calcular a transformada de Laplace
e depois recuperar o caso
. O conteúdo envolve transformada de Laplace, derivação sob o sinal de integral e análise de limites.
Passo 2
Definimos
válido para
. Note que a integral que queremos é
Passo 3
Derivando
em relação a
por baixo do sinal de integral (válido para
):
Sabemos que
logo
Passo 4
Agora integramos em
:
Passo 5
Para achar
, note que quando
temos
(pois
anula a integral) e
. Assim,
Portanto
Passo 6
Finalmente, fazemos
: